Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14383 / 22111
↖ ↑ ↗
← S 53.113812°
W 21.983642°		 ← 733.22 m → S 53.113812°
W 21.972656°		 →
↑
733.17 m
↓
↑
733.17 m
↓
S 53.120405°
W 21.983642°		 ← 733.11 m →
537 539 m²		 S 53.120405°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438949584960938 y=0.674789428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438949584960938 × 215)
    floor (0.438949584960938 × 32768)
    floor (14383.5)     		tx = 14383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674789428710938 × 215)
    floor (0.674789428710938 × 32768)
    floor (22111.5)     		ty = 22111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14383 / 22111 ti = "15/14383/22111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14383/22111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14383 ÷ 215
    14383 ÷ 32768     		x = 0.438934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22111 ÷ 215
    22111 ÷ 32768     		y = 0.674774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438934326171875 × 2 - 1) × π
    -0.12213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38368694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.34954833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09813849649625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38368694} λ = -0.38368694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09813849649625))-π/2
    2×atan(0.333491301476368)-π/2
    2×0.321892718987172-π/2
    0.643785437974345-1.57079632675     		φ = -0.92701089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38368694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.983642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92701089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.113812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14383 KachelY 22111 -0.38368694 -0.92701089 -21.983642 -53.113812
    Oben rechts KachelX + 1 14384 KachelY 22111 -0.38349520 -0.92701089 -21.972656 -53.113812
    Unten links KachelX 14383 KachelY + 1 22112 -0.38368694 -0.92712597 -21.983642 -53.120405
    Unten rechts KachelX + 1 14384 KachelY + 1 22112 -0.38349520 -0.92712597 -21.972656 -53.120405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92701089--0.92712597) × R
    0.000115079999999934 × 6371000     		dl = 733.17467999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92701089--0.92712597) × R
    0.000115079999999934 × 6371000     		dr = 733.17467999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38368694--0.38349520) × cos(-0.92701089) × R
    0.000191739999999996 × 0.600227438145501 × 6371000     		do = 733.223156875391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38368694--0.38349520) × cos(-0.92712597) × R
    0.000191739999999996 × 0.600135389807178 × 6371000     		du = 733.110712876797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92701089)-sin(-0.92712597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600227438145501-0.600135389807178)×R²
    abs(-0.38349520--0.38368694)×9.20483383237691e-05×R²
    0.000191739999999996×9.20483383237691e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.20483383237691e-05×40589641000000     		ar = 537539.433457411m²