Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14372 / 22620
↖ ↑ ↗
← S 56.340901°
W 22.104492°		 ← 677.09 m → S 56.340901°
W 22.093506°		 →
↑
677.05 m
↓
↑
677.05 m
↓
S 56.346990°
W 22.104492°		 ← 676.99 m →
458 387 m²		 S 56.346990°
W 22.093506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438613891601562 y=0.690322875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438613891601562 × 215)
    floor (0.438613891601562 × 32768)
    floor (14372.5)     		tx = 14372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690322875976562 × 215)
    floor (0.690322875976562 × 32768)
    floor (22620.5)     		ty = 22620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14372 / 22620 ti = "15/14372/22620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14372/22620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14372 ÷ 215
    14372 ÷ 32768     		x = 0.4385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22620 ÷ 215
    22620 ÷ 32768     		y = 0.6903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6903076171875 × 2 - 1) × π
    -0.380615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19573802412268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38579617} λ = -0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19573802412268))-π/2
    2×atan(0.302480633779984)-π/2
    2×0.293731048629863-π/2
    0.587462097259727-1.57079632675     		φ = -0.98333423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98333423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.340901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14372 KachelY 22620 -0.38579617 -0.98333423 -22.104492 -56.340901
    Oben rechts KachelX + 1 14373 KachelY 22620 -0.38560442 -0.98333423 -22.093506 -56.340901
    Unten links KachelX 14372 KachelY + 1 22621 -0.38579617 -0.98344050 -22.104492 -56.346990
    Unten rechts KachelX + 1 14373 KachelY + 1 22621 -0.38560442 -0.98344050 -22.093506 -56.346990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98333423--0.98344050) × R
    0.000106270000000075 × 6371000     		dl = 677.046170000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98333423--0.98344050) × R
    0.000106270000000075 × 6371000     		dr = 677.046170000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38579617--0.38560442) × cos(-0.98333423) × R
    0.000191749999999991 × 0.554250386417326 × 6371000     		do = 677.094026375039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38579617--0.38560442) × cos(-0.98344050) × R
    0.000191749999999991 × 0.554161929454183 × 6371000     		du = 676.985963876927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98333423)-sin(-0.98344050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554250386417326-0.554161929454183)×R²
    abs(-0.38560442--0.38579617)×8.84569631431908e-05×R²
    0.000191749999999991×8.84569631431908e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.84569631431908e-05×40589641000000     		ar = 458387.336068387m²