Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14348 / 22100
↖ ↑ ↗
← S 53.041213°
W 22.368164°		 ← 734.50 m → S 53.041213°
W 22.357178°		 →
↑
734.39 m
↓
↑
734.39 m
↓
S 53.047818°
W 22.368164°		 ← 734.39 m →
539 364 m²		 S 53.047818°
W 22.357178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437881469726562 y=0.674453735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437881469726562 × 215)
    floor (0.437881469726562 × 32768)
    floor (14348.5)     		tx = 14348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674453735351562 × 215)
    floor (0.674453735351562 × 32768)
    floor (22100.5)     		ty = 22100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14348 / 22100 ti = "15/14348/22100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14348/22100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14348 ÷ 215
    14348 ÷ 32768     		x = 0.4378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22100 ÷ 215
    22100 ÷ 32768     		y = 0.6744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39039811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6744384765625 × 2 - 1) × π
    -0.348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09602927291296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39039811} λ = -0.39039811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09602927291296))-π/2
    2×atan(0.334195451538166)-π/2
    2×0.322526260000389-π/2
    0.645052520000778-1.57079632675     		φ = -0.92574381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39039811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.368164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92574381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.041213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14348 KachelY 22100 -0.39039811 -0.92574381 -22.368164 -53.041213
    Oben rechts KachelX + 1 14349 KachelY 22100 -0.39020636 -0.92574381 -22.357178 -53.041213
    Unten links KachelX 14348 KachelY + 1 22101 -0.39039811 -0.92585908 -22.368164 -53.047818
    Unten rechts KachelX + 1 14349 KachelY + 1 22101 -0.39020636 -0.92585908 -22.357178 -53.047818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92574381--0.92585908) × R
    0.000115270000000001 × 6371000     		dl = 734.385170000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92574381--0.92585908) × R
    0.000115270000000001 × 6371000     		dr = 734.385170000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39039811--0.39020636) × cos(-0.92574381) × R
    0.000191750000000046 × 0.601240403843528 × 6371000     		do = 734.49887602128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39039811--0.39020636) × cos(-0.92585908) × R
    0.000191750000000046 × 0.601148291258752 × 6371000     		du = 734.3863476723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92574381)-sin(-0.92585908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601240403843528-0.601148291258752)×R²
    abs(-0.39020636--0.39039811)×9.21125847757054e-05×R²
    0.000191750000000046×9.21125847757054e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.21125847757054e-05×40589641000000     		ar = 539363.762953993m²