Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14320 / 22086
↖ ↑ ↗
← S 52.948638°
W 22.675781°		 ← 736.04 m → S 52.948638°
W 22.664795°		 →
↑
735.98 m
↓
↑
735.98 m
↓
S 52.955257°
W 22.675781°		 ← 735.92 m →
541 665 m²		 S 52.955257°
W 22.664795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437026977539062 y=0.674026489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437026977539062 × 215)
    floor (0.437026977539062 × 32768)
    floor (14320.5)     		tx = 14320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674026489257812 × 215)
    floor (0.674026489257812 × 32768)
    floor (22086.5)     		ty = 22086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14320 / 22086 ti = "15/14320/22086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14320/22086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14320 ÷ 215
    14320 ÷ 32768     		x = 0.43701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22086 ÷ 215
    22086 ÷ 32768     		y = 0.67401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.3480224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09334480653424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39576704} λ = -0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09334480653424))-π/2
    2×atan(0.335093793236304)-π/2
    2×0.323334130638154-π/2
    0.646668261276307-1.57079632675     		φ = -0.92412807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92412807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.948638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14320 KachelY 22086 -0.39576704 -0.92412807 -22.675781 -52.948638
    Oben rechts KachelX + 1 14321 KachelY 22086 -0.39557530 -0.92412807 -22.664795 -52.948638
    Unten links KachelX 14320 KachelY + 1 22087 -0.39576704 -0.92424359 -22.675781 -52.955257
    Unten rechts KachelX + 1 14321 KachelY + 1 22087 -0.39557530 -0.92424359 -22.664795 -52.955257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92412807--0.92424359) × R
    0.000115520000000036 × 6371000     		dl = 735.977920000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92412807--0.92424359) × R
    0.000115520000000036 × 6371000     		dr = 735.977920000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39576704--0.39557530) × cos(-0.92412807) × R
    0.000191739999999996 × 0.602530704919987 × 6371000     		do = 736.036771229197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39576704--0.39557530) × cos(-0.92424359) × R
    0.000191739999999996 × 0.602438504884344 × 6371000     		du = 735.924141920869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92412807)-sin(-0.92424359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602530704919987-0.602438504884344)×R²
    abs(-0.39557530--0.39576704)×9.22000356426977e-05×R²
    0.000191739999999996×9.22000356426977e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.22000356426977e-05×40589641000000     		ar = 541665.366193326m²