Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14318 / 22161
↖ ↑ ↗
← S 53.442264°
W 22.697754°		 ← 727.65 m → S 53.442264°
W 22.686768°		 →
↑
727.57 m
↓
↑
727.57 m
↓
S 53.448807°
W 22.697754°		 ← 727.54 m →
529 373 m²		 S 53.448807°
W 22.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436965942382812 y=0.676315307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436965942382812 × 215)
    floor (0.436965942382812 × 32768)
    floor (14318.5)     		tx = 14318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676315307617188 × 215)
    floor (0.676315307617188 × 32768)
    floor (22161.5)     		ty = 22161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14318 / 22161 ti = "15/14318/22161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14318/22161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14318 ÷ 215
    14318 ÷ 32768     		x = 0.43695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22161 ÷ 215
    22161 ÷ 32768     		y = 0.676300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39615054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.35260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10772587642026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39615054} λ = -0.39615054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10772587642026))-π/2
    2×atan(0.330309271705673)-π/2
    2×0.319026434291942-π/2
    0.638052868583884-1.57079632675     		φ = -0.93274346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39615054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.697754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93274346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.442264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14318 KachelY 22161 -0.39615054 -0.93274346 -22.697754 -53.442264
    Oben rechts KachelX + 1 14319 KachelY 22161 -0.39595879 -0.93274346 -22.686768 -53.442264
    Unten links KachelX 14318 KachelY + 1 22162 -0.39615054 -0.93285766 -22.697754 -53.448807
    Unten rechts KachelX + 1 14319 KachelY + 1 22162 -0.39595879 -0.93285766 -22.686768 -53.448807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93274346--0.93285766) × R
    0.000114200000000064 × 6371000     		dl = 727.568200000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93274346--0.93285766) × R
    0.000114200000000064 × 6371000     		dr = 727.568200000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39615054--0.39595879) × cos(-0.93274346) × R
    0.000191749999999991 × 0.59563252298396 × 6371000     		do = 727.648068653697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39615054--0.39595879) × cos(-0.93285766) × R
    0.000191749999999991 × 0.595540787144384 × 6371000     		du = 727.536000551439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93274346)-sin(-0.93285766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59563252298396-0.595540787144384)×R²
    abs(-0.39595879--0.39615054)×9.17358395763346e-05×R²
    0.000191749999999991×9.17358395763346e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.17358395763346e-05×40589641000000     		ar = 529372.827525025m²