Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14313 / 22634
↖ ↑ ↗
← S 56.426054°
W 22.752686°		 ← 675.58 m → S 56.426054°
W 22.741699°		 →
↑
675.52 m
↓
↑
675.52 m
↓
S 56.432129°
W 22.752686°		 ← 675.47 m →
456 331 m²		 S 56.432129°
W 22.741699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436813354492188 y=0.690750122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436813354492188 × 215)
    floor (0.436813354492188 × 32768)
    floor (14313.5)     		tx = 14313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690750122070312 × 215)
    floor (0.690750122070312 × 32768)
    floor (22634.5)     		ty = 22634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14313 / 22634 ti = "15/14313/22634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14313/22634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14313 ÷ 215
    14313 ÷ 32768     		x = 0.436798095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22634 ÷ 215
    22634 ÷ 32768     		y = 0.69073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.12640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39710928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.3814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1984224905014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39710928} λ = -0.39710928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1984224905014))-π/2
    2×atan(0.301669723605912)-π/2
    2×0.292987946148544-π/2
    0.585975892297087-1.57079632675     		φ = -0.98482043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39710928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.752686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98482043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.426054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14313 KachelY 22634 -0.39710928 -0.98482043 -22.752686 -56.426054
    Oben rechts KachelX + 1 14314 KachelY 22634 -0.39691753 -0.98482043 -22.741699 -56.426054
    Unten links KachelX 14313 KachelY + 1 22635 -0.39710928 -0.98492646 -22.752686 -56.432129
    Unten rechts KachelX + 1 14314 KachelY + 1 22635 -0.39691753 -0.98492646 -22.741699 -56.432129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98482043--0.98492646) × R
    0.000106029999999979 × 6371000     		dl = 675.517129999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98482043--0.98492646) × R
    0.000106029999999979 × 6371000     		dr = 675.517129999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39710928--0.39691753) × cos(-0.98482043) × R
    0.000191749999999991 × 0.553012736203267 × 6371000     		do = 675.582064295774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39710928--0.39691753) × cos(-0.98492646) × R
    0.000191749999999991 × 0.552924391782932 × 6371000     		du = 675.474139284374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98482043)-sin(-0.98492646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553012736203267-0.552924391782932)×R²
    abs(-0.39691753--0.39710928)×8.8344420335229e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8344420335229e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8344420335229e-05×40589641000000     		ar = 456330.804982897m²