Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14312 / 22663
↖ ↑ ↗
← S 56.601838°
W 22.763672°		 ← 672.42 m → S 56.601838°
W 22.752686°		 →
↑
672.40 m
↓
↑
672.40 m
↓
S 56.607885°
W 22.763672°		 ← 672.31 m →
452 097 m²		 S 56.607885°
W 22.752686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436782836914062 y=0.691635131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436782836914062 × 215)
    floor (0.436782836914062 × 32768)
    floor (14312.5)     		tx = 14312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691635131835938 × 215)
    floor (0.691635131835938 × 32768)
    floor (22663.5)     		ty = 22663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14312 / 22663 ti = "15/14312/22663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14312/22663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14312 ÷ 215
    14312 ÷ 32768     		x = 0.436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22663 ÷ 215
    22663 ÷ 32768     		y = 0.691619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39730102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.38323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20398317085733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39730102} λ = -0.39730102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20398317085733))-π/2
    2×atan(0.299996890056701)-π/2
    2×0.291453941316435-π/2
    0.582907882632871-1.57079632675     		φ = -0.98788844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39730102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98788844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.601838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14312 KachelY 22663 -0.39730102 -0.98788844 -22.763672 -56.601838
    Oben rechts KachelX + 1 14313 KachelY 22663 -0.39710928 -0.98788844 -22.752686 -56.601838
    Unten links KachelX 14312 KachelY + 1 22664 -0.39730102 -0.98799398 -22.763672 -56.607885
    Unten rechts KachelX + 1 14313 KachelY + 1 22664 -0.39710928 -0.98799398 -22.752686 -56.607885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98788844--0.98799398) × R
    0.000105540000000071 × 6371000     		dl = 672.39534000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98788844--0.98799398) × R
    0.000105540000000071 × 6371000     		dr = 672.39534000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39730102--0.39710928) × cos(-0.98788844) × R
    0.000191739999999996 × 0.550453955067783 × 6371000     		do = 672.421087407048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39730102--0.39710928) × cos(-0.98799398) × R
    0.000191739999999996 × 0.550365840294863 × 6371000     		du = 672.313448555737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98788844)-sin(-0.98799398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550453955067783-0.550365840294863)×R²
    abs(-0.39710928--0.39730102)×8.81147729197007e-05×R²
    0.000191739999999996×8.81147729197007e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.81147729197007e-05×40589641000000     		ar = 452096.618179475m²