Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14312 / 22637
↖ ↑ ↗
← S 56.444277°
W 22.763672°		 ← 675.22 m → S 56.444277°
W 22.752686°		 →
↑
675.20 m
↓
↑
675.20 m
↓
S 56.450349°
W 22.763672°		 ← 675.12 m →
455 873 m²		 S 56.450349°
W 22.752686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436782836914062 y=0.690841674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436782836914062 × 215)
    floor (0.436782836914062 × 32768)
    floor (14312.5)     		tx = 14312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690841674804688 × 215)
    floor (0.690841674804688 × 32768)
    floor (22637.5)     		ty = 22637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14312 / 22637 ti = "15/14312/22637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14312/22637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14312 ÷ 215
    14312 ÷ 32768     		x = 0.436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22637 ÷ 215
    22637 ÷ 32768     		y = 0.690826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39730102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.38165283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19899773329684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39730102} λ = -0.39730102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19899773329684))-π/2
    2×atan(0.301496240173136)-π/2
    2×0.292828925966534-π/2
    0.585657851933067-1.57079632675     		φ = -0.98513847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39730102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98513847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.444277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14312 KachelY 22637 -0.39730102 -0.98513847 -22.763672 -56.444277
    Oben rechts KachelX + 1 14313 KachelY 22637 -0.39710928 -0.98513847 -22.752686 -56.444277
    Unten links KachelX 14312 KachelY + 1 22638 -0.39730102 -0.98524445 -22.763672 -56.450349
    Unten rechts KachelX + 1 14313 KachelY + 1 22638 -0.39710928 -0.98524445 -22.752686 -56.450349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98513847--0.98524445) × R
    0.000105980000000061 × 6371000     		dl = 675.198580000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98513847--0.98524445) × R
    0.000105980000000061 × 6371000     		dr = 675.198580000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39730102--0.39710928) × cos(-0.98513847) × R
    0.000191739999999996 × 0.552747725962161 × 6371000     		do = 675.223101825984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39730102--0.39710928) × cos(-0.98524445) × R
    0.000191739999999996 × 0.55265940456957 × 6371000     		du = 675.115210573136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98513847)-sin(-0.98524445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552747725962161-0.55265940456957)×R²
    abs(-0.39710928--0.39730102)×8.8321392590518e-05×R²
    0.000191739999999996×8.8321392590518e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.8321392590518e-05×40589641000000     		ar = 455873.255952885m²