Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14311 / 22646
↖ ↑ ↗
← S 56.498891°
W 22.774658°		 ← 674.29 m → S 56.498891°
W 22.763672°		 →
↑
674.24 m
↓
↑
674.24 m
↓
S 56.504955°
W 22.774658°		 ← 674.18 m →
454 597 m²		 S 56.504955°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436752319335938 y=0.691116333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436752319335938 × 215)
    floor (0.436752319335938 × 32768)
    floor (14311.5)     		tx = 14311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691116333007812 × 215)
    floor (0.691116333007812 × 32768)
    floor (22646.5)     		ty = 22646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14311 / 22646 ti = "15/14311/22646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14311/22646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14311 ÷ 215
    14311 ÷ 32768     		x = 0.436737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22646 ÷ 215
    22646 ÷ 32768     		y = 0.69110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.12652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39749277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.3822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20072346168317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39749277} λ = -0.39749277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20072346168317))-π/2
    2×atan(0.300976388243732)-π/2
    2×0.292352322613442-π/2
    0.584704645226885-1.57079632675     		φ = -0.98609168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39749277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98609168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.498891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14311 KachelY 22646 -0.39749277 -0.98609168 -22.774658 -56.498891
    Oben rechts KachelX + 1 14312 KachelY 22646 -0.39730102 -0.98609168 -22.763672 -56.498891
    Unten links KachelX 14311 KachelY + 1 22647 -0.39749277 -0.98619751 -22.774658 -56.504955
    Unten rechts KachelX + 1 14312 KachelY + 1 22647 -0.39730102 -0.98619751 -22.763672 -56.504955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98609168--0.98619751) × R
    0.000105829999999973 × 6371000     		dl = 674.242929999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98609168--0.98619751) × R
    0.000105829999999973 × 6371000     		dr = 674.242929999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.98609168) × R
    0.000191749999999991 × 0.551953118711961 × 6371000     		do = 674.287593978408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.98619751) × R
    0.000191749999999991 × 0.551864866614768 × 6371000     		du = 674.179781752581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98609168)-sin(-0.98619751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551953118711961-0.551864866614768)×R²
    abs(-0.39730102--0.39749277)×8.82520971934309e-05×R²
    0.000191749999999991×8.82520971934309e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.82520971934309e-05×40589641000000     		ar = 454597.297635246m²