Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14311 / 22265
↖ ↑ ↗
← S 54.117383°
W 22.774658°		 ← 716.04 m → S 54.117383°
W 22.763672°		 →
↑
715.97 m
↓
↑
715.97 m
↓
S 54.123822°
W 22.774658°		 ← 715.92 m →
512 622 m²		 S 54.123822°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436752319335938 y=0.679489135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436752319335938 × 215)
    floor (0.436752319335938 × 32768)
    floor (14311.5)     		tx = 14311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679489135742188 × 215)
    floor (0.679489135742188 × 32768)
    floor (22265.5)     		ty = 22265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14311 / 22265 ti = "15/14311/22265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14311/22265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14311 ÷ 215
    14311 ÷ 32768     		x = 0.436737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22265 ÷ 215
    22265 ÷ 32768     		y = 0.679473876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.12652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39749277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.35894775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1276676266622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39749277} λ = -0.39749277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1276676266622))-π/2
    2×atan(0.323787569905129)-π/2
    2×0.313134907005608-π/2
    0.626269814011216-1.57079632675     		φ = -0.94452651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39749277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94452651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.117383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14311 KachelY 22265 -0.39749277 -0.94452651 -22.774658 -54.117383
    Oben rechts KachelX + 1 14312 KachelY 22265 -0.39730102 -0.94452651 -22.763672 -54.117383
    Unten links KachelX 14311 KachelY + 1 22266 -0.39749277 -0.94463889 -22.774658 -54.123822
    Unten rechts KachelX + 1 14312 KachelY + 1 22266 -0.39730102 -0.94463889 -22.763672 -54.123822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94452651--0.94463889) × R
    0.000112380000000023 × 6371000     		dl = 715.972980000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94452651--0.94463889) × R
    0.000112380000000023 × 6371000     		dr = 715.972980000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.94452651) × R
    0.000191749999999991 × 0.586126575537404 × 6371000     		do = 716.035230144547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.94463889) × R
    0.000191749999999991 × 0.586035519369062 × 6371000     		du = 715.923992355346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94452651)-sin(-0.94463889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586126575537404-0.586035519369062)×R²
    abs(-0.39730102--0.39749277)×9.10561683413746e-05×R²
    0.000191749999999991×9.10561683413746e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.10561683413746e-05×40589641000000     		ar = 512622.056425078m²