Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14311 / 22152
↖ ↑ ↗
← S 53.383329°
W 22.774658°		 ← 728.66 m → S 53.383329°
W 22.763672°		 →
↑
728.59 m
↓
↑
728.59 m
↓
S 53.389881°
W 22.774658°		 ← 728.54 m →
530 850 m²		 S 53.389881°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436752319335938 y=0.676040649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436752319335938 × 215)
    floor (0.436752319335938 × 32768)
    floor (14311.5)     		tx = 14311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676040649414062 × 215)
    floor (0.676040649414062 × 32768)
    floor (22152.5)     		ty = 22152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14311 / 22152 ti = "15/14311/22152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14311/22152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14311 ÷ 215
    14311 ÷ 32768     		x = 0.436737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22152 ÷ 215
    22152 ÷ 32768     		y = 0.676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.12652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39749277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.35205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10600014803394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39749277} λ = -0.39749277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10600014803394))-π/2
    2×atan(0.330879787928551)-π/2
    2×0.319540740563169-π/2
    0.639081481126338-1.57079632675     		φ = -0.93171485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39749277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93171485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.383329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14311 KachelY 22152 -0.39749277 -0.93171485 -22.774658 -53.383329
    Oben rechts KachelX + 1 14312 KachelY 22152 -0.39730102 -0.93171485 -22.763672 -53.383329
    Unten links KachelX 14311 KachelY + 1 22153 -0.39749277 -0.93182921 -22.774658 -53.389881
    Unten rechts KachelX + 1 14312 KachelY + 1 22153 -0.39730102 -0.93182921 -22.763672 -53.389881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93171485--0.93182921) × R
    0.00011435999999998 × 6371000     		dl = 728.587559999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93171485--0.93182921) × R
    0.00011435999999998 × 6371000     		dr = 728.587559999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.93171485) × R
    0.000191749999999991 × 0.596458445977293 × 6371000     		do = 728.65704859983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.93182921) × R
    0.000191749999999991 × 0.59636665171423 × 6371000     		du = 728.544909125147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93171485)-sin(-0.93182921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596458445977293-0.59636665171423)×R²
    abs(-0.39730102--0.39749277)×9.17942630633828e-05×R²
    0.000191749999999991×9.17942630633828e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.17942630633828e-05×40589641000000     		ar = 530849.609981552m²