Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14311 / 21990
↖ ↑ ↗
← S 52.308479°
W 22.774658°		 ← 746.92 m → S 52.308479°
W 22.763672°		 →
↑
746.87 m
↓
↑
746.87 m
↓
S 52.315195°
W 22.774658°		 ← 746.81 m →
557 813 m²		 S 52.315195°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436752319335938 y=0.671096801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436752319335938 × 215)
    floor (0.436752319335938 × 32768)
    floor (14311.5)     		tx = 14311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671096801757812 × 215)
    floor (0.671096801757812 × 32768)
    floor (21990.5)     		ty = 21990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14311 / 21990 ti = "15/14311/21990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14311/21990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14311 ÷ 215
    14311 ÷ 32768     		x = 0.436737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21990 ÷ 215
    21990 ÷ 32768     		y = 0.67108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.12652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39749277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.3421630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07493703708014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39749277} λ = -0.39749277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07493703708014))-π/2
    2×atan(0.341319245080732)-π/2
    2×0.328920574060842-π/2
    0.657841148121684-1.57079632675     		φ = -0.91295518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39749277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91295518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.308479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14311 KachelY 21990 -0.39749277 -0.91295518 -22.774658 -52.308479
    Oben rechts KachelX + 1 14312 KachelY 21990 -0.39730102 -0.91295518 -22.763672 -52.308479
    Unten links KachelX 14311 KachelY + 1 21991 -0.39749277 -0.91307241 -22.774658 -52.315195
    Unten rechts KachelX + 1 14312 KachelY + 1 21991 -0.39730102 -0.91307241 -22.763672 -52.315195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91295518--0.91307241) × R
    0.000117229999999968 × 6371000     		dl = 746.872329999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91295518--0.91307241) × R
    0.000117229999999968 × 6371000     		dr = 746.872329999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.91295518) × R
    0.000191749999999991 × 0.611409947277127 × 6371000     		do = 746.922389434132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39749277--0.39730102) × cos(-0.91307241) × R
    0.000191749999999991 × 0.611317177333649 × 6371000     		du = 746.80905802996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91295518)-sin(-0.91307241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611409947277127-0.611317177333649)×R²
    abs(-0.39730102--0.39749277)×9.27699434776219e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27699434776219e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27699434776219e-05×40589641000000     		ar = 557813.343919743m²