Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14309 / 22667
↖ ↑ ↗
← S 56.626021°
W 22.796631°		 ← 672.03 m → S 56.626021°
W 22.785645°		 →
↑
671.95 m
↓
↑
671.95 m
↓
S 56.632063°
W 22.796631°		 ← 671.92 m →
451 531 m²		 S 56.632063°
W 22.785645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436691284179688 y=0.691757202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436691284179688 × 215)
    floor (0.436691284179688 × 32768)
    floor (14309.5)     		tx = 14309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691757202148438 × 215)
    floor (0.691757202148438 × 32768)
    floor (22667.5)     		ty = 22667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14309 / 22667 ti = "15/14309/22667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14309/22667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14309 ÷ 215
    14309 ÷ 32768     		x = 0.436676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22667 ÷ 215
    22667 ÷ 32768     		y = 0.691741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.12664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39787627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.38348388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20475016125125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39787627} λ = -0.39787627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20475016125125))-π/2
    2×atan(0.299766883541491)-π/2
    2×0.291242912447793-π/2
    0.582485824895586-1.57079632675     		φ = -0.98831050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39787627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.796631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98831050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.626021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14309 KachelY 22667 -0.39787627 -0.98831050 -22.796631 -56.626021
    Oben rechts KachelX + 1 14310 KachelY 22667 -0.39768452 -0.98831050 -22.785645 -56.626021
    Unten links KachelX 14309 KachelY + 1 22668 -0.39787627 -0.98841597 -22.796631 -56.632063
    Unten rechts KachelX + 1 14310 KachelY + 1 22668 -0.39768452 -0.98841597 -22.785645 -56.632063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98831050--0.98841597) × R
    0.000105470000000052 × 6371000     		dl = 671.949370000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98831050--0.98841597) × R
    0.000105470000000052 × 6371000     		dr = 671.949370000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39787627--0.39768452) × cos(-0.98831050) × R
    0.000191749999999991 × 0.550101542707679 × 6371000     		do = 672.025636057219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39787627--0.39768452) × cos(-0.98841597) × R
    0.000191749999999991 × 0.550013461885939 × 6371000     		du = 671.918033068209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98831050)-sin(-0.98841597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550101542707679-0.550013461885939)×R²
    abs(-0.39768452--0.39787627)×8.80808217396112e-05×R²
    0.000191749999999991×8.80808217396112e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.80808217396112e-05×40589641000000     		ar = 451531.05131155m²