Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14309 / 22665
↖ ↑ ↗
← S 56.613932°
W 22.796631°		 ← 672.24 m → S 56.613932°
W 22.785645°		 →
↑
672.14 m
↓
↑
672.14 m
↓
S 56.619976°
W 22.796631°		 ← 672.13 m →
451 804 m²		 S 56.619976°
W 22.785645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436691284179688 y=0.691696166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436691284179688 × 215)
    floor (0.436691284179688 × 32768)
    floor (14309.5)     		tx = 14309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691696166992188 × 215)
    floor (0.691696166992188 × 32768)
    floor (22665.5)     		ty = 22665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14309 / 22665 ti = "15/14309/22665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14309/22665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14309 ÷ 215
    14309 ÷ 32768     		x = 0.436676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22665 ÷ 215
    22665 ÷ 32768     		y = 0.691680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.12664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39787627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.38336181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20436666605429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39787627} λ = -0.39787627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20436666605429))-π/2
    2×atan(0.299881864747498)-π/2
    2×0.291348409988649-π/2
    0.582696819977297-1.57079632675     		φ = -0.98809951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39787627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.796631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98809951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.613932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14309 KachelY 22665 -0.39787627 -0.98809951 -22.796631 -56.613932
    Oben rechts KachelX + 1 14310 KachelY 22665 -0.39768452 -0.98809951 -22.785645 -56.613932
    Unten links KachelX 14309 KachelY + 1 22666 -0.39787627 -0.98820501 -22.796631 -56.619976
    Unten rechts KachelX + 1 14310 KachelY + 1 22666 -0.39768452 -0.98820501 -22.785645 -56.619976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98809951--0.98820501) × R
    0.000105500000000092 × 6371000     		dl = 672.140500000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98809951--0.98820501) × R
    0.000105500000000092 × 6371000     		dr = 672.140500000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39787627--0.39768452) × cos(-0.98809951) × R
    0.000191749999999991 × 0.550277727741405 × 6371000     		do = 672.240870609681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39787627--0.39768452) × cos(-0.98820501) × R
    0.000191749999999991 × 0.550189634110927 × 6371000     		du = 672.133251973015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98809951)-sin(-0.98820501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550277727741405-0.550189634110927)×R²
    abs(-0.39768452--0.39787627)×8.80936304780144e-05×R²
    0.000191749999999991×8.80936304780144e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.80936304780144e-05×40589641000000     		ar = 451804.147889502m²