Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14309 / 22633
↖ ↑ ↗
← S 56.419979°
W 22.796631°		 ← 675.69 m → S 56.419979°
W 22.785645°		 →
↑
675.58 m
↓
↑
675.58 m
↓
S 56.426054°
W 22.796631°		 ← 675.58 m →
456 447 m²		 S 56.426054°
W 22.785645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436691284179688 y=0.690719604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436691284179688 × 215)
    floor (0.436691284179688 × 32768)
    floor (14309.5)     		tx = 14309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690719604492188 × 215)
    floor (0.690719604492188 × 32768)
    floor (22633.5)     		ty = 22633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14309 / 22633 ti = "15/14309/22633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14309/22633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14309 ÷ 215
    14309 ÷ 32768     		x = 0.436676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22633 ÷ 215
    22633 ÷ 32768     		y = 0.690704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.12664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39787627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.38140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19823074290292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39787627} λ = -0.39787627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19823074290292))-π/2
    2×atan(0.301727573597069)-π/2
    2×0.293040969815521-π/2
    0.586081939631042-1.57079632675     		φ = -0.98471439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39787627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.796631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98471439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.419979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14309 KachelY 22633 -0.39787627 -0.98471439 -22.796631 -56.419979
    Oben rechts KachelX + 1 14310 KachelY 22633 -0.39768452 -0.98471439 -22.785645 -56.419979
    Unten links KachelX 14309 KachelY + 1 22634 -0.39787627 -0.98482043 -22.796631 -56.426054
    Unten rechts KachelX + 1 14310 KachelY + 1 22634 -0.39768452 -0.98482043 -22.785645 -56.426054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98471439--0.98482043) × R
    0.000106039999999918 × 6371000     		dl = 675.58083999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98471439--0.98482043) × R
    0.000106039999999918 × 6371000     		dr = 675.58083999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39787627--0.39768452) × cos(-0.98471439) × R
    0.000191749999999991 × 0.553101082737575 × 6371000     		do = 675.689991889686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39787627--0.39768452) × cos(-0.98482043) × R
    0.000191749999999991 × 0.553012736203267 × 6371000     		du = 675.582064295774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98471439)-sin(-0.98482043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553101082737575-0.553012736203267)×R²
    abs(-0.39768452--0.39787627)×8.83465343078926e-05×R²
    0.000191749999999991×8.83465343078926e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.83465343078926e-05×40589641000000     		ar = 456446.755820605m²