Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14308 / 22636
↖ ↑ ↗
← S 56.438204°
W 22.807617°		 ← 675.33 m → S 56.438204°
W 22.796631°		 →
↑
675.26 m
↓
↑
675.26 m
↓
S 56.444277°
W 22.807617°		 ← 675.22 m →
455 989 m²		 S 56.444277°
W 22.796631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436660766601562 y=0.690811157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436660766601562 × 215)
    floor (0.436660766601562 × 32768)
    floor (14308.5)     		tx = 14308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690811157226562 × 215)
    floor (0.690811157226562 × 32768)
    floor (22636.5)     		ty = 22636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14308 / 22636 ti = "15/14308/22636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14308/22636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14308 ÷ 215
    14308 ÷ 32768     		x = 0.4366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22636 ÷ 215
    22636 ÷ 32768     		y = 0.6907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39806801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19880598569836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39806801} λ = -0.39806801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19880598569836))-π/2
    2×atan(0.301554056896072)-π/2
    2×0.292881924224807-π/2
    0.585763848449614-1.57079632675     		φ = -0.98503248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39806801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.807617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98503248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.438204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14308 KachelY 22636 -0.39806801 -0.98503248 -22.807617 -56.438204
    Oben rechts KachelX + 1 14309 KachelY 22636 -0.39787627 -0.98503248 -22.796631 -56.438204
    Unten links KachelX 14308 KachelY + 1 22637 -0.39806801 -0.98513847 -22.807617 -56.444277
    Unten rechts KachelX + 1 14309 KachelY + 1 22637 -0.39787627 -0.98513847 -22.796631 -56.444277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98503248--0.98513847) × R
    0.00010599 × 6371000     		dl = 675.262290000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98503248--0.98513847) × R
    0.00010599 × 6371000     		dr = 675.262290000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39806801--0.39787627) × cos(-0.98503248) × R
    0.000191740000000051 × 0.552836049479322 × 6371000     		do = 675.33099567435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39806801--0.39787627) × cos(-0.98513847) × R
    0.000191740000000051 × 0.552747725962161 × 6371000     		du = 675.223101826179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98503248)-sin(-0.98513847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552836049479322-0.552747725962161)×R²
    abs(-0.39787627--0.39806801)×8.83235171610375e-05×R²
    0.000191740000000051×8.83235171610375e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.83235171610375e-05×40589641000000     		ar = 455989.126750081m²