Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14306 / 22626
↖ ↑ ↗
← S 56.377419°
W 22.829590°		 ← 676.45 m → S 56.377419°
W 22.818603°		 →
↑
676.41 m
↓
↑
676.41 m
↓
S 56.383502°
W 22.829590°		 ← 676.34 m →
457 518 m²		 S 56.383502°
W 22.818603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436599731445312 y=0.690505981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436599731445312 × 215)
    floor (0.436599731445312 × 32768)
    floor (14306.5)     		tx = 14306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690505981445312 × 215)
    floor (0.690505981445312 × 32768)
    floor (22626.5)     		ty = 22626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14306 / 22626 ti = "15/14306/22626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14306/22626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14306 ÷ 215
    14306 ÷ 32768     		x = 0.43658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22626 ÷ 215
    22626 ÷ 32768     		y = 0.69049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39845151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.3809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19688850971356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39845151} λ = -0.39845151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19688850971356))-π/2
    2×atan(0.302132834276821)-π/2
    2×0.293412372717018-π/2
    0.586824745434035-1.57079632675     		φ = -0.98397158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39845151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.829590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98397158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.377419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14306 KachelY 22626 -0.39845151 -0.98397158 -22.829590 -56.377419
    Oben rechts KachelX + 1 14307 KachelY 22626 -0.39825976 -0.98397158 -22.818603 -56.377419
    Unten links KachelX 14306 KachelY + 1 22627 -0.39845151 -0.98407775 -22.829590 -56.383502
    Unten rechts KachelX + 1 14307 KachelY + 1 22627 -0.39825976 -0.98407775 -22.818603 -56.383502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98397158--0.98407775) × R
    0.000106170000000017 × 6371000     		dl = 676.409070000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98397158--0.98407775) × R
    0.000106170000000017 × 6371000     		dr = 676.409070000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39845151--0.39825976) × cos(-0.98397158) × R
    0.000191749999999991 × 0.553719775613438 × 6371000     		do = 676.445811390535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39845151--0.39825976) × cos(-0.98407775) × R
    0.000191749999999991 × 0.553631364407413 × 6371000     		du = 676.337804791115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98397158)-sin(-0.98407775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553719775613438-0.553631364407413)×R²
    abs(-0.39825976--0.39845151)×8.84112060254294e-05×R²
    0.000191749999999991×8.84112060254294e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.84112060254294e-05×40589641000000     		ar = 457517.554295889m²