Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14306 / 22619
↖ ↑ ↗
← S 56.334811°
W 22.829590°		 ← 677.20 m → S 56.334811°
W 22.818603°		 →
↑
677.17 m
↓
↑
677.17 m
↓
S 56.340901°
W 22.829590°		 ← 677.09 m →
458 547 m²		 S 56.340901°
W 22.818603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436599731445312 y=0.690292358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436599731445312 × 215)
    floor (0.436599731445312 × 32768)
    floor (14306.5)     		tx = 14306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690292358398438 × 215)
    floor (0.690292358398438 × 32768)
    floor (22619.5)     		ty = 22619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14306 / 22619 ti = "15/14306/22619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14306/22619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14306 ÷ 215
    14306 ÷ 32768     		x = 0.43658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22619 ÷ 215
    22619 ÷ 32768     		y = 0.690277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39845151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.38055419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1955462765242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39845151} λ = -0.39845151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1955462765242))-π/2
    2×atan(0.302538639276128)-π/2
    2×0.293784190960751-π/2
    0.587568381921503-1.57079632675     		φ = -0.98322794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39845151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.829590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98322794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.334811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14306 KachelY 22619 -0.39845151 -0.98322794 -22.829590 -56.334811
    Oben rechts KachelX + 1 14307 KachelY 22619 -0.39825976 -0.98322794 -22.818603 -56.334811
    Unten links KachelX 14306 KachelY + 1 22620 -0.39845151 -0.98333423 -22.829590 -56.340901
    Unten rechts KachelX + 1 14307 KachelY + 1 22620 -0.39825976 -0.98333423 -22.818603 -56.340901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98322794--0.98333423) × R
    0.000106289999999953 × 6371000     		dl = 677.173589999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98322794--0.98333423) × R
    0.000106289999999953 × 6371000     		dr = 677.173589999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39845151--0.39825976) × cos(-0.98322794) × R
    0.000191749999999991 × 0.554338853766968 × 6371000     		do = 677.202101561705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39845151--0.39825976) × cos(-0.98333423) × R
    0.000191749999999991 × 0.554250386417326 × 6371000     		du = 677.094026375039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98322794)-sin(-0.98333423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554338853766968-0.554250386417326)×R²
    abs(-0.39825976--0.39845151)×8.8467349641741e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8467349641741e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8467349641741e-05×40589641000000     		ar = 458546.785871138m²