Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14304 / 22622
↖ ↑ ↗
← S 56.353078°
W 22.851562°		 ← 676.84 m → S 56.353078°
W 22.840576°		 →
↑
676.79 m
↓
↑
676.79 m
↓
S 56.359164°
W 22.851562°		 ← 676.73 m →
458 045 m²		 S 56.359164°
W 22.840576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436538696289062 y=0.690383911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436538696289062 × 215)
    floor (0.436538696289062 × 32768)
    floor (14304.5)     		tx = 14304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690383911132812 × 215)
    floor (0.690383911132812 × 32768)
    floor (22622.5)     		ty = 22622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14304 / 22622 ti = "15/14304/22622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14304/22622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14304 ÷ 215
    14304 ÷ 32768     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22622 ÷ 215
    22622 ÷ 32768     		y = 0.69036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.3807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19612151931964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19612151931964))-π/2
    2×atan(0.302364656149609)-π/2
    2×0.293624789410029-π/2
    0.587249578820058-1.57079632675     		φ = -0.98354675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98354675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.353078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14304 KachelY 22622 -0.39883500 -0.98354675 -22.851562 -56.353078
    Oben rechts KachelX + 1 14305 KachelY 22622 -0.39864326 -0.98354675 -22.840576 -56.353078
    Unten links KachelX 14304 KachelY + 1 22623 -0.39883500 -0.98365298 -22.851562 -56.359164
    Unten rechts KachelX + 1 14305 KachelY + 1 22623 -0.39864326 -0.98365298 -22.840576 -56.359164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98354675--0.98365298) × R
    0.000106229999999985 × 6371000     		dl = 676.791329999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98354675--0.98365298) × R
    0.000106229999999985 × 6371000     		dr = 676.791329999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39864326) × cos(-0.98354675) × R
    0.000191739999999996 × 0.554073482882071 × 6371000     		do = 676.842614051332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39864326) × cos(-0.98365298) × R
    0.000191739999999996 × 0.553985046705521 × 6371000     		du = 676.734582581208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98354675)-sin(-0.98365298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554073482882071-0.553985046705521)×R²
    abs(-0.39864326--0.39883500)×8.84361765496333e-05×R²
    0.000191739999999996×8.84361765496333e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.84361765496333e-05×40589641000000     		ar = 458044.656013695m²