Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14294 / 22611
↖ ↑ ↗
← S 56.286059°
W 22.961426°		 ← 678.07 m → S 56.286059°
W 22.950439°		 →
↑
678 m
↓
↑
678 m
↓
S 56.292157°
W 22.961426°		 ← 677.96 m →
459 694 m²		 S 56.292157°
W 22.950439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436233520507812 y=0.690048217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436233520507812 × 215)
    floor (0.436233520507812 × 32768)
    floor (14294.5)     		tx = 14294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690048217773438 × 215)
    floor (0.690048217773438 × 32768)
    floor (22611.5)     		ty = 22611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14294 / 22611 ti = "15/14294/22611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14294/22611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14294 ÷ 215
    14294 ÷ 32768     		x = 0.43621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22611 ÷ 215
    22611 ÷ 32768     		y = 0.690032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40075248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.38006591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19401229573636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40075248} λ = -0.40075248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19401229573636))-π/2
    2×atan(0.303003083869825)-π/2
    2×0.294209635010528-π/2
    0.588419270021056-1.57079632675     		φ = -0.98237706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40075248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.961426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98237706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.286059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14294 KachelY 22611 -0.40075248 -0.98237706 -22.961426 -56.286059
    Oben rechts KachelX + 1 14295 KachelY 22611 -0.40056073 -0.98237706 -22.950439 -56.286059
    Unten links KachelX 14294 KachelY + 1 22612 -0.40075248 -0.98248348 -22.961426 -56.292157
    Unten rechts KachelX + 1 14295 KachelY + 1 22612 -0.40056073 -0.98248348 -22.950439 -56.292157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98237706--0.98248348) × R
    0.00010641999999994 × 6371000     		dl = 678.001819999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98237706--0.98248348) × R
    0.00010641999999994 × 6371000     		dr = 678.001819999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40075248--0.40056073) × cos(-0.98237706) × R
    0.000191750000000046 × 0.55504683284251 × 6371000     		do = 678.066996588762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40075248--0.40056073) × cos(-0.98248348) × R
    0.000191750000000046 × 0.554958307511156 × 6371000     		du = 677.958850569361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98237706)-sin(-0.98248348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55504683284251-0.554958307511156)×R²
    abs(-0.40056073--0.40075248)×8.85253313541723e-05×R²
    0.000191750000000046×8.85253313541723e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.85253313541723e-05×40589641000000     		ar = 459693.996603219m²