Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14291 / 22612
↖ ↑ ↗
← S 56.292157°
W 22.994385°		 ← 677.92 m → S 56.292157°
W 22.983399°		 →
↑
677.87 m
↓
↑
677.87 m
↓
S 56.298253°
W 22.994385°		 ← 677.82 m →
459 510 m²		 S 56.298253°
W 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436141967773438 y=0.690078735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436141967773438 × 215)
    floor (0.436141967773438 × 32768)
    floor (14291.5)     		tx = 14291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690078735351562 × 215)
    floor (0.690078735351562 × 32768)
    floor (22612.5)     		ty = 22612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14291 / 22612 ti = "15/14291/22612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14291/22612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14291 ÷ 215
    14291 ÷ 32768     		x = 0.436126708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22612 ÷ 215
    22612 ÷ 32768     		y = 0.6900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436126708984375 × 2 - 1) × π
    -0.12774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40132772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19420404333484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40132772} λ = -0.40132772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19420404333484))-π/2
    2×atan(0.302944989326084)-π/2
    2×0.294156424805359-π/2
    0.588312849610718-1.57079632675     		φ = -0.98248348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40132772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.994385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98248348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.292157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14291 KachelY 22612 -0.40132772 -0.98248348 -22.994385 -56.292157
    Oben rechts KachelX + 1 14292 KachelY 22612 -0.40113598 -0.98248348 -22.983399 -56.292157
    Unten links KachelX 14291 KachelY + 1 22613 -0.40132772 -0.98258988 -22.994385 -56.298253
    Unten rechts KachelX + 1 14292 KachelY + 1 22613 -0.40113598 -0.98258988 -22.983399 -56.298253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98248348--0.98258988) × R
    0.000106400000000062 × 6371000     		dl = 677.874400000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98248348--0.98258988) × R
    0.000106400000000062 × 6371000     		dr = 677.874400000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40132772--0.40113598) × cos(-0.98248348) × R
    0.000191739999999996 × 0.554958307511156 × 6371000     		do = 677.923494175412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40132772--0.40113598) × cos(-0.98258988) × R
    0.000191739999999996 × 0.554869792533523 × 6371000     		du = 677.815366443812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98248348)-sin(-0.98258988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554958307511156-0.554869792533523)×R²
    abs(-0.40113598--0.40132772)×8.85149776329586e-05×R²
    0.000191739999999996×8.85149776329586e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.85149776329586e-05×40589641000000     		ar = 459510.333783556m²