Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14283 / 22472
↖ ↑ ↗
← S 55.429014°
W 23.082275°		 ← 693.15 m → S 55.429014°
W 23.071289°		 →
↑
693.10 m
↓
↑
693.10 m
↓
S 55.435247°
W 23.082275°		 ← 693.05 m →
480 388 m²		 S 55.435247°
W 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435897827148438 y=0.685806274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435897827148438 × 215)
    floor (0.435897827148438 × 32768)
    floor (14283.5)     		tx = 14283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685806274414062 × 215)
    floor (0.685806274414062 × 32768)
    floor (22472.5)     		ty = 22472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14283 / 22472 ti = "15/14283/22472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14283/22472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14283 ÷ 215
    14283 ÷ 32768     		x = 0.435882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22472 ÷ 215
    22472 ÷ 32768     		y = 0.685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435882568359375 × 2 - 1) × π
    -0.12823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40286170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.37158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16735937954761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40286170} λ = -0.40286170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16735937954761))-π/2
    2×atan(0.311187585586572)-π/2
    2×0.301688770468545-π/2
    0.603377540937091-1.57079632675     		φ = -0.96741879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40286170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.082275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96741879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.429014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14283 KachelY 22472 -0.40286170 -0.96741879 -23.082275 -55.429014
    Oben rechts KachelX + 1 14284 KachelY 22472 -0.40266996 -0.96741879 -23.071289 -55.429014
    Unten links KachelX 14283 KachelY + 1 22473 -0.40286170 -0.96752758 -23.082275 -55.435247
    Unten rechts KachelX + 1 14284 KachelY + 1 22473 -0.40266996 -0.96752758 -23.071289 -55.435247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96741879--0.96752758) × R
    0.000108790000000081 × 6371000     		dl = 693.101090000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96741879--0.96752758) × R
    0.000108790000000081 × 6371000     		dr = 693.101090000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40286170--0.40266996) × cos(-0.96741879) × R
    0.000191739999999996 × 0.567426848854107 × 6371000     		do = 693.154759299439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40286170--0.40266996) × cos(-0.96752758) × R
    0.000191739999999996 × 0.567337265220149 × 6371000     		du = 693.045326123412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96741879)-sin(-0.96752758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567426848854107-0.567337265220149)×R²
    abs(-0.40266996--0.40286170)×8.95836339580569e-05×R²
    0.000191739999999996×8.95836339580569e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.95836339580569e-05×40589641000000     		ar = 480388.395556841m²