Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14281 / 22505
↖ ↑ ↗
← S 55.634198°
W 23.104248°		 ← 689.58 m → S 55.634198°
W 23.093262°		 →
↑
689.53 m
↓
↑
689.53 m
↓
S 55.640399°
W 23.104248°		 ← 689.47 m →
475 454 m²		 S 55.640399°
W 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435836791992188 y=0.686813354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435836791992188 × 215)
    floor (0.435836791992188 × 32768)
    floor (14281.5)     		tx = 14281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686813354492188 × 215)
    floor (0.686813354492188 × 32768)
    floor (22505.5)     		ty = 22505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14281 / 22505 ti = "15/14281/22505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14281/22505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14281 ÷ 215
    14281 ÷ 32768     		x = 0.435821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22505 ÷ 215
    22505 ÷ 32768     		y = 0.686798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.12835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40324520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.37359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17368705029745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40324520} λ = -0.40324520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17368705029745))-π/2
    2×atan(0.309224709768852)-π/2
    2×0.299898197972678-π/2
    0.599796395945356-1.57079632675     		φ = -0.97099993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40324520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97099993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.634198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14281 KachelY 22505 -0.40324520 -0.97099993 -23.104248 -55.634198
    Oben rechts KachelX + 1 14282 KachelY 22505 -0.40305345 -0.97099993 -23.093262 -55.634198
    Unten links KachelX 14281 KachelY + 1 22506 -0.40324520 -0.97110816 -23.104248 -55.640399
    Unten rechts KachelX + 1 14282 KachelY + 1 22506 -0.40305345 -0.97110816 -23.093262 -55.640399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97099993--0.97110816) × R
    0.000108230000000042 × 6371000     		dl = 689.533330000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97099993--0.97110816) × R
    0.000108230000000042 × 6371000     		dr = 689.533330000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40324520--0.40305345) × cos(-0.97099993) × R
    0.000191750000000046 × 0.564474420716295 × 6371000     		do = 689.584107968205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40324520--0.40305345) × cos(-0.97110816) × R
    0.000191750000000046 × 0.564385078896221 × 6371000     		du = 689.474964494136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97099993)-sin(-0.97110816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564474420716295-0.564385078896221)×R²
    abs(-0.40305345--0.40324520)×8.93418200744733e-05×R²
    0.000191750000000046×8.93418200744733e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.93418200744733e-05×40589641000000     		ar = 475453.597715422m²