Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14281 / 22504
↖ ↑ ↗
← S 55.627996°
W 23.104248°		 ← 689.69 m → S 55.627996°
W 23.093262°		 →
↑
689.60 m
↓
↑
689.60 m
↓
S 55.634198°
W 23.104248°		 ← 689.58 m →
475 573 m²		 S 55.634198°
W 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435836791992188 y=0.686782836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435836791992188 × 215)
    floor (0.435836791992188 × 32768)
    floor (14281.5)     		tx = 14281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686782836914062 × 215)
    floor (0.686782836914062 × 32768)
    floor (22504.5)     		ty = 22504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14281 / 22504 ti = "15/14281/22504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14281/22504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14281 ÷ 215
    14281 ÷ 32768     		x = 0.435821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22504 ÷ 215
    22504 ÷ 32768     		y = 0.686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.12835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40324520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.37353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17349530269897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40324520} λ = -0.40324520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17349530269897))-π/2
    2×atan(0.309284008549358)-π/2
    2×0.299952320562892-π/2
    0.599904641125785-1.57079632675     		φ = -0.97089169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40324520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97089169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.627996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14281 KachelY 22504 -0.40324520 -0.97089169 -23.104248 -55.627996
    Oben rechts KachelX + 1 14282 KachelY 22504 -0.40305345 -0.97089169 -23.093262 -55.627996
    Unten links KachelX 14281 KachelY + 1 22505 -0.40324520 -0.97099993 -23.104248 -55.634198
    Unten rechts KachelX + 1 14282 KachelY + 1 22505 -0.40305345 -0.97099993 -23.093262 -55.634198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97089169--0.97099993) × R
    0.000108239999999982 × 6371000     		dl = 689.597039999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97089169--0.97099993) × R
    0.000108239999999982 × 6371000     		dr = 689.597039999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40324520--0.40305345) × cos(-0.97089169) × R
    0.000191750000000046 × 0.564563764178162 × 6371000     		do = 689.693253447952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40324520--0.40305345) × cos(-0.97099993) × R
    0.000191750000000046 × 0.564474420716295 × 6371000     		du = 689.584107968205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97089169)-sin(-0.97099993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564563764178162-0.564474420716295)×R²
    abs(-0.40305345--0.40324520)×8.93434618662869e-05×R²
    0.000191750000000046×8.93434618662869e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.93434618662869e-05×40589641000000     		ar = 475572.793350072m²