Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14279 / 22462
↖ ↑ ↗
← S 55.366625°
W 23.126220°		 ← 694.25 m → S 55.366625°
W 23.115235°		 →
↑
694.25 m
↓
↑
694.25 m
↓
S 55.372868°
W 23.126220°		 ← 694.14 m →
481 943 m²		 S 55.372868°
W 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435775756835938 y=0.685501098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435775756835938 × 215)
    floor (0.435775756835938 × 32768)
    floor (14279.5)     		tx = 14279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685501098632812 × 215)
    floor (0.685501098632812 × 32768)
    floor (22462.5)     		ty = 22462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14279 / 22462 ti = "15/14279/22462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14279/22462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14279 ÷ 215
    14279 ÷ 32768     		x = 0.435760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22462 ÷ 215
    22462 ÷ 32768     		y = 0.68548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435760498046875 × 2 - 1) × π
    -0.12847900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40362869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.3709716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16544190356281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40362869} λ = -0.40362869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16544190356281))-π/2
    2×atan(0.311784852748424)-π/2
    2×0.302233213738636-π/2
    0.604466427477272-1.57079632675     		φ = -0.96632990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40362869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.126220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96632990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.366625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14279 KachelY 22462 -0.40362869 -0.96632990 -23.126220 -55.366625
    Oben rechts KachelX + 1 14280 KachelY 22462 -0.40343695 -0.96632990 -23.115235 -55.366625
    Unten links KachelX 14279 KachelY + 1 22463 -0.40362869 -0.96643887 -23.126220 -55.372868
    Unten rechts KachelX + 1 14280 KachelY + 1 22463 -0.40343695 -0.96643887 -23.115235 -55.372868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96632990--0.96643887) × R
    0.000108969999999986 × 6371000     		dl = 694.247869999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96632990--0.96643887) × R
    0.000108969999999986 × 6371000     		dr = 694.247869999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40362869--0.40343695) × cos(-0.96632990) × R
    0.000191739999999996 × 0.568323130235903 × 6371000     		do = 694.249634712398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40362869--0.40343695) × cos(-0.96643887) × R
    0.000191739999999996 × 0.568233465751194 × 6371000     		du = 694.140102771071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96632990)-sin(-0.96643887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568323130235903-0.568233465751194)×R²
    abs(-0.40343695--0.40362869)×8.96644847087069e-05×R²
    0.000191739999999996×8.96644847087069e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.96644847087069e-05×40589641000000     		ar = 481943.309465844m²