Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14270 / 22466
↖ ↑ ↗
← S 55.391592°
W 23.225097°		 ← 693.81 m → S 55.391592°
W 23.214112°		 →
↑
693.80 m
↓
↑
693.80 m
↓
S 55.397832°
W 23.225097°		 ← 693.70 m →
481 330 m²		 S 55.397832°
W 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435501098632812 y=0.685623168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435501098632812 × 215)
    floor (0.435501098632812 × 32768)
    floor (14270.5)     		tx = 14270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685623168945312 × 215)
    floor (0.685623168945312 × 32768)
    floor (22466.5)     		ty = 22466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14270 / 22466 ti = "15/14270/22466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14270/22466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14270 ÷ 215
    14270 ÷ 32768     		x = 0.43548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22466 ÷ 215
    22466 ÷ 32768     		y = 0.68560791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.3712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16620889395673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40535442} λ = -0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16620889395673))-π/2
    2×atan(0.311545808445457)-π/2
    2×0.302015333312196-π/2
    0.604030666624392-1.57079632675     		φ = -0.96676566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96676566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.391592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14270 KachelY 22466 -0.40535442 -0.96676566 -23.225097 -55.391592
    Oben rechts KachelX + 1 14271 KachelY 22466 -0.40516268 -0.96676566 -23.214112 -55.391592
    Unten links KachelX 14270 KachelY + 1 22467 -0.40535442 -0.96687456 -23.225097 -55.397832
    Unten rechts KachelX + 1 14271 KachelY + 1 22467 -0.40516268 -0.96687456 -23.214112 -55.397832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96676566--0.96687456) × R
    0.000108900000000078 × 6371000     		dl = 693.801900000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96676566--0.96687456) × R
    0.000108900000000078 × 6371000     		dr = 693.801900000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40535442--0.40516268) × cos(-0.96676566) × R
    0.000191739999999996 × 0.567964530582899 × 6371000     		do = 693.811578147636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40535442--0.40516268) × cos(-0.96687456) × R
    0.000191739999999996 × 0.567874896740184 × 6371000     		du = 693.702083637819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96676566)-sin(-0.96687456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567964530582899-0.567874896740184)×R²
    abs(-0.40516268--0.40535442)×8.96338427148757e-05×R²
    0.000191739999999996×8.96338427148757e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.96338427148757e-05×40589641000000     		ar = 481329.807887327m²