Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14269 / 22501
↖ ↑ ↗
← S 55.609384°
W 23.236084°		 ← 690.02 m → S 55.609384°
W 23.225097°		 →
↑
689.92 m
↓
↑
689.92 m
↓
S 55.615589°
W 23.236084°		 ← 689.91 m →
476 018 m²		 S 55.615589°
W 23.225097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435470581054688 y=0.686691284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435470581054688 × 215)
    floor (0.435470581054688 × 32768)
    floor (14269.5)     		tx = 14269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686691284179688 × 215)
    floor (0.686691284179688 × 32768)
    floor (22501.5)     		ty = 22501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14269 / 22501 ti = "15/14269/22501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14269/22501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14269 ÷ 215
    14269 ÷ 32768     		x = 0.435455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22501 ÷ 215
    22501 ÷ 32768     		y = 0.686676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.12908935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40554617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.37335205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17292005990353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40554617} λ = -0.40554617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17292005990353))-π/2
    2×atan(0.309461973128535)-π/2
    2×0.300114739735227-π/2
    0.600229479470453-1.57079632675     		φ = -0.97056685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40554617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97056685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.609384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14269 KachelY 22501 -0.40554617 -0.97056685 -23.236084 -55.609384
    Oben rechts KachelX + 1 14270 KachelY 22501 -0.40535442 -0.97056685 -23.225097 -55.609384
    Unten links KachelX 14269 KachelY + 1 22502 -0.40554617 -0.97067514 -23.236084 -55.615589
    Unten rechts KachelX + 1 14270 KachelY + 1 22502 -0.40535442 -0.97067514 -23.225097 -55.615589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97056685--0.97067514) × R
    0.000108290000000011 × 6371000     		dl = 689.915590000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97056685--0.97067514) × R
    0.000108290000000011 × 6371000     		dr = 689.915590000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40554617--0.40535442) × cos(-0.97056685) × R
    0.000191749999999991 × 0.564831853898073 × 6371000     		do = 690.020762372118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40554617--0.40535442) × cos(-0.97067514) × R
    0.000191749999999991 × 0.564742489026438 × 6371000     		du = 689.911590737357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97056685)-sin(-0.97067514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564831853898073-0.564742489026438)×R²
    abs(-0.40535442--0.40554617)×8.93648716351336e-05×R²
    0.000191749999999991×8.93648716351336e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.93648716351336e-05×40589641000000     		ar = 476018.422243265m²