Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14268 / 22470
↖ ↑ ↗
← S 55.416544°
W 23.247070°		 ← 693.41 m → S 55.416544°
W 23.236084°		 →
↑
693.29 m
↓
↑
693.29 m
↓
S 55.422779°
W 23.247070°		 ← 693.30 m →
480 698 m²		 S 55.422779°
W 23.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435440063476562 y=0.685745239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435440063476562 × 215)
    floor (0.435440063476562 × 32768)
    floor (14268.5)     		tx = 14268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685745239257812 × 215)
    floor (0.685745239257812 × 32768)
    floor (22470.5)     		ty = 22470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14268 / 22470 ti = "15/14268/22470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14268/22470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14268 ÷ 215
    14268 ÷ 32768     		x = 0.4354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22470 ÷ 215
    22470 ÷ 32768     		y = 0.68572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.3714599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16697588435065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40573792} λ = -0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16697588435065))-π/2
    2×atan(0.31130694741688)-π/2
    2×0.301797590384543-π/2
    0.603595180769087-1.57079632675     		φ = -0.96720115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96720115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.416544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14268 KachelY 22470 -0.40573792 -0.96720115 -23.247070 -55.416544
    Oben rechts KachelX + 1 14269 KachelY 22470 -0.40554617 -0.96720115 -23.236084 -55.416544
    Unten links KachelX 14268 KachelY + 1 22471 -0.40573792 -0.96730997 -23.247070 -55.422779
    Unten rechts KachelX + 1 14269 KachelY + 1 22471 -0.40554617 -0.96730997 -23.236084 -55.422779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96720115--0.96730997) × R
    0.000108820000000009 × 6371000     		dl = 693.29222000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96720115--0.96730997) × R
    0.000108820000000009 × 6371000     		dr = 693.29222000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40573792--0.40554617) × cos(-0.96720115) × R
    0.000191749999999991 × 0.567606045372042 × 6371000     		do = 693.409823563733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40573792--0.40554617) × cos(-0.96730997) × R
    0.000191749999999991 × 0.567516450473281 × 6371000     		du = 693.300370918806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96720115)-sin(-0.96730997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567606045372042-0.567516450473281)×R²
    abs(-0.40554617--0.40573792)×8.95948987613693e-05×R²
    0.000191749999999991×8.95948987613693e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.95948987613693e-05×40589641000000     		ar = 480697.695089284m²