Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14262 / 22142
↖ ↑ ↗
← S 53.317749°
W 23.312988°		 ← 729.74 m → S 53.317749°
W 23.302002°		 →
↑
729.73 m
↓
↑
729.73 m
↓
S 53.324312°
W 23.312988°		 ← 729.63 m →
532 476 m²		 S 53.324312°
W 23.302002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435256958007812 y=0.675735473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435256958007812 × 215)
    floor (0.435256958007812 × 32768)
    floor (14262.5)     		tx = 14262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675735473632812 × 215)
    floor (0.675735473632812 × 32768)
    floor (22142.5)     		ty = 22142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14262 / 22142 ti = "15/14262/22142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14262/22142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14262 ÷ 215
    14262 ÷ 32768     		x = 0.43524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22142 ÷ 215
    22142 ÷ 32768     		y = 0.67572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43524169921875 × 2 - 1) × π
    -0.1295166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40688840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.3514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10408267204913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40688840} λ = -0.40688840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10408267204913))-π/2
    2×atan(0.331514850639931)-π/2
    2×0.320113028091481-π/2
    0.640226056182962-1.57079632675     		φ = -0.93057027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40688840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93057027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.317749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14262 KachelY 22142 -0.40688840 -0.93057027 -23.312988 -53.317749
    Oben rechts KachelX + 1 14263 KachelY 22142 -0.40669666 -0.93057027 -23.302002 -53.317749
    Unten links KachelX 14262 KachelY + 1 22143 -0.40688840 -0.93068481 -23.312988 -53.324312
    Unten rechts KachelX + 1 14263 KachelY + 1 22143 -0.40669666 -0.93068481 -23.302002 -53.324312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93057027--0.93068481) × R
    0.000114539999999996 × 6371000     		dl = 729.734339999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93057027--0.93068481) × R
    0.000114539999999996 × 6371000     		dr = 729.734339999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40688840--0.40669666) × cos(-0.93057027) × R
    0.000191739999999996 × 0.597376745298232 × 6371000     		do = 729.740820221114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40688840--0.40669666) × cos(-0.93068481) × R
    0.000191739999999996 × 0.597284884796966 × 6371000     		du = 729.628605679676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93057027)-sin(-0.93068481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597376745298232-0.597284884796966)×R²
    abs(-0.40669666--0.40688840)×9.18605012656393e-05×R²
    0.000191739999999996×9.18605012656393e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.18605012656393e-05×40589641000000     		ar = 532475.992994593m²