Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14260 / 22483
↖ ↑ ↗
← S 55.497527°
W 23.334961°		 ← 691.99 m → S 55.497527°
W 23.323975°		 →
↑
691.89 m
↓
↑
691.89 m
↓
S 55.503750°
W 23.334961°		 ← 691.88 m →
478 742 m²		 S 55.503750°
W 23.323975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435195922851562 y=0.686141967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435195922851562 × 215)
    floor (0.435195922851562 × 32768)
    floor (14260.5)     		tx = 14260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686141967773438 × 215)
    floor (0.686141967773438 × 32768)
    floor (22483.5)     		ty = 22483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14260 / 22483 ti = "15/14260/22483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14260/22483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14260 ÷ 215
    14260 ÷ 32768     		x = 0.4351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22483 ÷ 215
    22483 ÷ 32768     		y = 0.686126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686126708984375 × 2 - 1) × π
    -0.37225341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16946860313089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40727190} λ = -0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16946860313089))-π/2
    2×atan(0.310531913115229)-π/2
    2×0.301090874920205-π/2
    0.602181749840411-1.57079632675     		φ = -0.96861458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96861458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.497527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14260 KachelY 22483 -0.40727190 -0.96861458 -23.334961 -55.497527
    Oben rechts KachelX + 1 14261 KachelY 22483 -0.40708015 -0.96861458 -23.323975 -55.497527
    Unten links KachelX 14260 KachelY + 1 22484 -0.40727190 -0.96872318 -23.334961 -55.503750
    Unten rechts KachelX + 1 14261 KachelY + 1 22484 -0.40708015 -0.96872318 -23.323975 -55.503750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96861458--0.96872318) × R
    0.000108600000000014 × 6371000     		dl = 691.890600000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96861458--0.96872318) × R
    0.000108600000000014 × 6371000     		dr = 691.890600000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40727190--0.40708015) × cos(-0.96861458) × R
    0.000191750000000046 × 0.5664418014451 × 6371000     		do = 691.987537486207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40727190--0.40708015) × cos(-0.96872318) × R
    0.000191750000000046 × 0.566352300655508 × 6371000     		du = 691.878199808735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96861458)-sin(-0.96872318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5664418014451-0.566352300655508)×R²
    abs(-0.40708015--0.40727190)×8.9500789591801e-05×R²
    0.000191750000000046×8.9500789591801e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.9500789591801e-05×40589641000000     		ar = 478741.848118886m²