Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14260 / 22481
↖ ↑ ↗
← S 55.485079°
W 23.334961°		 ← 692.21 m → S 55.485079°
W 23.323975°		 →
↑
692.15 m
↓
↑
692.15 m
↓
S 55.491303°
W 23.334961°		 ← 692.10 m →
479 070 m²		 S 55.491303°
W 23.323975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435195922851562 y=0.686080932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435195922851562 × 215)
    floor (0.435195922851562 × 32768)
    floor (14260.5)     		tx = 14260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686080932617188 × 215)
    floor (0.686080932617188 × 32768)
    floor (22481.5)     		ty = 22481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14260 / 22481 ti = "15/14260/22481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14260/22481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14260 ÷ 215
    14260 ÷ 32768     		x = 0.4351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22481 ÷ 215
    22481 ÷ 32768     		y = 0.686065673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686065673828125 × 2 - 1) × π
    -0.37213134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16908510793393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40727190} λ = -0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16908510793393))-π/2
    2×atan(0.310651023450072)-π/2
    2×0.301199505939857-π/2
    0.602399011879713-1.57079632675     		φ = -0.96839731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96839731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.485079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14260 KachelY 22481 -0.40727190 -0.96839731 -23.334961 -55.485079
    Oben rechts KachelX + 1 14261 KachelY 22481 -0.40708015 -0.96839731 -23.323975 -55.485079
    Unten links KachelX 14260 KachelY + 1 22482 -0.40727190 -0.96850595 -23.334961 -55.491303
    Unten rechts KachelX + 1 14261 KachelY + 1 22482 -0.40708015 -0.96850595 -23.323975 -55.491303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96839731--0.96850595) × R
    0.000108639999999993 × 6371000     		dl = 692.145439999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96839731--0.96850595) × R
    0.000108639999999993 × 6371000     		dr = 692.145439999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40727190--0.40708015) × cos(-0.96839731) × R
    0.000191750000000046 × 0.566620840659959 × 6371000     		do = 692.206258818368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40727190--0.40708015) × cos(-0.96850595) × R
    0.000191750000000046 × 0.566531320275306 × 6371000     		du = 692.096897202801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96839731)-sin(-0.96850595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566620840659959-0.566531320275306)×R²
    abs(-0.40708015--0.40727190)×8.95203846530412e-05×R²
    0.000191750000000046×8.95203846530412e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.95203846530412e-05×40589641000000     		ar = 479069.558979774m²