Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14258 / 22479
↖ ↑ ↗
← S 55.472627°
W 23.356933°		 ← 692.39 m → S 55.472627°
W 23.345947°		 →
↑
692.40 m
↓
↑
692.40 m
↓
S 55.478854°
W 23.356933°		 ← 692.28 m →
479 372 m²		 S 55.478854°
W 23.345947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435134887695312 y=0.686019897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435134887695312 × 215)
    floor (0.435134887695312 × 32768)
    floor (14258.5)     		tx = 14258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686019897460938 × 215)
    floor (0.686019897460938 × 32768)
    floor (22479.5)     		ty = 22479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14258 / 22479 ti = "15/14258/22479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14258/22479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14258 ÷ 215
    14258 ÷ 32768     		x = 0.43511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22479 ÷ 215
    22479 ÷ 32768     		y = 0.686004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.1297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40765539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.37200927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16870161273697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40765539} λ = -0.40765539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16870161273697))-π/2
    2×atan(0.310770179471917)-π/2
    2×0.301308171291449-π/2
    0.602616342582898-1.57079632675     		φ = -0.96817998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40765539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96817998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.472627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14258 KachelY 22479 -0.40765539 -0.96817998 -23.356933 -55.472627
    Oben rechts KachelX + 1 14259 KachelY 22479 -0.40746365 -0.96817998 -23.345947 -55.472627
    Unten links KachelX 14258 KachelY + 1 22480 -0.40765539 -0.96828866 -23.356933 -55.478854
    Unten rechts KachelX + 1 14259 KachelY + 1 22480 -0.40746365 -0.96828866 -23.345947 -55.478854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96817998--0.96828866) × R
    0.000108679999999972 × 6371000     		dl = 692.400279999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96817998--0.96828866) × R
    0.000108679999999972 × 6371000     		dr = 692.400279999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40765539--0.40746365) × cos(-0.96817998) × R
    0.000191739999999996 × 0.566799902558102 × 6371000     		do = 692.388897039346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40765539--0.40746365) × cos(-0.96828866) × R
    0.000191739999999996 × 0.566710362596155 × 6371000     		du = 692.279517211979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96817998)-sin(-0.96828866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566799902558102-0.566710362596155)×R²
    abs(-0.40746365--0.40765539)×8.95399619464943e-05×R²
    0.000191739999999996×8.95399619464943e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.95399619464943e-05×40589641000000     		ar = 479372.399338835m²