Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14252 / 22497
↖ ↑ ↗
← S 55.584555°
W 23.422852°		 ← 690.46 m → S 55.584555°
W 23.411865°		 →
↑
690.36 m
↓
↑
690.36 m
↓
S 55.590763°
W 23.422852°		 ← 690.35 m →
476 628 m²		 S 55.590763°
W 23.411865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434951782226562 y=0.686569213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434951782226562 × 215)
    floor (0.434951782226562 × 32768)
    floor (14252.5)     		tx = 14252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686569213867188 × 215)
    floor (0.686569213867188 × 32768)
    floor (22497.5)     		ty = 22497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14252 / 22497 ti = "15/14252/22497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14252/22497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14252 ÷ 215
    14252 ÷ 32768     		x = 0.4349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22497 ÷ 215
    22497 ÷ 32768     		y = 0.686553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.37310791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17215306950961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40880588} λ = -0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17215306950961))-π/2
    2×atan(0.309699418536742)-π/2
    2×0.300331418595865-π/2
    0.60066283719173-1.57079632675     		φ = -0.97013349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97013349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.584555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14252 KachelY 22497 -0.40880588 -0.97013349 -23.422852 -55.584555
    Oben rechts KachelX + 1 14253 KachelY 22497 -0.40861413 -0.97013349 -23.411865 -55.584555
    Unten links KachelX 14252 KachelY + 1 22498 -0.40880588 -0.97024185 -23.422852 -55.590763
    Unten rechts KachelX + 1 14253 KachelY + 1 22498 -0.40861413 -0.97024185 -23.411865 -55.590763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97013349--0.97024185) × R
    0.000108359999999919 × 6371000     		dl = 690.361559999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97013349--0.97024185) × R
    0.000108359999999919 × 6371000     		dr = 690.361559999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40880588--0.40861413) × cos(-0.97013349) × R
    0.000191749999999991 × 0.565189412130108 × 6371000     		do = 690.457569542532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40880588--0.40861413) × cos(-0.97024185) × R
    0.000191749999999991 × 0.565100016019942 × 6371000     		du = 690.348359745555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97013349)-sin(-0.97024185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565189412130108-0.565100016019942)×R²
    abs(-0.40861413--0.40880588)×8.93961101661178e-05×R²
    0.000191749999999991×8.93961101661178e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.93961101661178e-05×40589641000000     		ar = 476627.668166626m²