Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14237 / 21890
↖ ↑ ↗
← S 51.631657°
W 23.587646°		 ← 758.25 m → S 51.631657°
W 23.576660°		 →
↑
758.21 m
↓
↑
758.21 m
↓
S 51.638476°
W 23.587646°		 ← 758.14 m →
574 871 m²		 S 51.638476°
W 23.576660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434494018554688 y=0.668045043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434494018554688 × 215)
    floor (0.434494018554688 × 32768)
    floor (14237.5)     		tx = 14237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668045043945312 × 215)
    floor (0.668045043945312 × 32768)
    floor (21890.5)     		ty = 21890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14237 / 21890 ti = "15/14237/21890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14237/21890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14237 ÷ 215
    14237 ÷ 32768     		x = 0.434478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21890 ÷ 215
    21890 ÷ 32768     		y = 0.66802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.13104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41168209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.3360595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05576227723212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41168209} λ = -0.41168209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05576227723212))-π/2
    2×atan(0.347927109282258)-π/2
    2×0.334826953902098-π/2
    0.669653907804197-1.57079632675     		φ = -0.90114242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41168209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.587646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90114242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.631657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14237 KachelY 21890 -0.41168209 -0.90114242 -23.587646 -51.631657
    Oben rechts KachelX + 1 14238 KachelY 21890 -0.41149035 -0.90114242 -23.576660 -51.631657
    Unten links KachelX 14237 KachelY + 1 21891 -0.41168209 -0.90126143 -23.587646 -51.638476
    Unten rechts KachelX + 1 14238 KachelY + 1 21891 -0.41149035 -0.90126143 -23.576660 -51.638476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90114242--0.90126143) × R
    0.00011901000000003 × 6371000     		dl = 758.212710000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90114242--0.90126143) × R
    0.00011901000000003 × 6371000     		dr = 758.212710000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41168209--0.41149035) × cos(-0.90114242) × R
    0.000191739999999996 × 0.620714674498393 × 6371000     		do = 758.249863686283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41168209--0.41149035) × cos(-0.90126143) × R
    0.000191739999999996 × 0.620621361914522 × 6371000     		du = 758.135875316251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90114242)-sin(-0.90126143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620714674498393-0.620621361914522)×R²
    abs(-0.41149035--0.41168209)×9.33125838716853e-05×R²
    0.000191739999999996×9.33125838716853e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.33125838716853e-05×40589641000000     		ar = 574871.470965707m²