Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14225 / 21989
↖ ↑ ↗
← S 52.301761°
W 23.719483°		 ← 747.04 m → S 52.301761°
W 23.708496°		 →
↑
747 m
↓
↑
747 m
↓
S 52.308479°
W 23.719483°		 ← 746.92 m →
557 993 m²		 S 52.308479°
W 23.708496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434127807617188 y=0.671066284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434127807617188 × 215)
    floor (0.434127807617188 × 32768)
    floor (14225.5)     		tx = 14225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671066284179688 × 215)
    floor (0.671066284179688 × 32768)
    floor (21989.5)     		ty = 21989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14225 / 21989 ti = "15/14225/21989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14225/21989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14225 ÷ 215
    14225 ÷ 32768     		x = 0.434112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21989 ÷ 215
    21989 ÷ 32768     		y = 0.671051025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.13177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41398307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.34210205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07474528948166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41398307} λ = -0.41398307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07474528948166))-π/2
    2×atan(0.341384698501359)-π/2
    2×0.328979196702716-π/2
    0.657958393405433-1.57079632675     		φ = -0.91283793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41398307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91283793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.301761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14225 KachelY 21989 -0.41398307 -0.91283793 -23.719483 -52.301761
    Oben rechts KachelX + 1 14226 KachelY 21989 -0.41379132 -0.91283793 -23.708496 -52.301761
    Unten links KachelX 14225 KachelY + 1 21990 -0.41398307 -0.91295518 -23.719483 -52.308479
    Unten rechts KachelX + 1 14226 KachelY + 1 21990 -0.41379132 -0.91295518 -23.708496 -52.308479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91283793--0.91295518) × R
    0.000117249999999958 × 6371000     		dl = 746.99974999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91283793--0.91295518) × R
    0.000117249999999958 × 6371000     		dr = 746.99974999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41398307--0.41379132) × cos(-0.91283793) × R
    0.000191749999999991 × 0.611502724642922 × 6371000     		do = 747.035729905699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41398307--0.41379132) × cos(-0.91295518) × R
    0.000191749999999991 × 0.611409947277127 × 6371000     		du = 746.922389434132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91283793)-sin(-0.91295518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611502724642922-0.611409947277127)×R²
    abs(-0.41379132--0.41398307)×9.27773657950492e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27773657950492e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27773657950492e-05×40589641000000     		ar = 557993.171467582m²