Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14223 / 21903
↖ ↑ ↗
← S 51.720222°
W 23.741455°		 ← 756.81 m → S 51.720222°
W 23.730469°		 →
↑
756.75 m
↓
↑
756.75 m
↓
S 51.727028°
W 23.741455°		 ← 756.69 m →
572 669 m²		 S 51.727028°
W 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434066772460938 y=0.668441772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434066772460938 × 215)
    floor (0.434066772460938 × 32768)
    floor (14223.5)     		tx = 14223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668441772460938 × 215)
    floor (0.668441772460938 × 32768)
    floor (21903.5)     		ty = 21903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14223 / 21903 ti = "15/14223/21903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14223/21903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14223 ÷ 215
    14223 ÷ 32768     		x = 0.434051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21903 ÷ 215
    21903 ÷ 32768     		y = 0.668426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.13189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41436656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.33685302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05825499601236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41436656} λ = -0.41436656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05825499601236))-π/2
    2×atan(0.347060904893293)-π/2
    2×0.334054076141628-π/2
    0.668108152283257-1.57079632675     		φ = -0.90268817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41436656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90268817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.720222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14223 KachelY 21903 -0.41436656 -0.90268817 -23.741455 -51.720222
    Oben rechts KachelX + 1 14224 KachelY 21903 -0.41417481 -0.90268817 -23.730469 -51.720222
    Unten links KachelX 14223 KachelY + 1 21904 -0.41436656 -0.90280695 -23.741455 -51.727028
    Unten rechts KachelX + 1 14224 KachelY + 1 21904 -0.41417481 -0.90280695 -23.730469 -51.727028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90268817--0.90280695) × R
    0.000118779999999985 × 6371000     		dl = 756.747379999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90268817--0.90280695) × R
    0.000118779999999985 × 6371000     		dr = 756.747379999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41436656--0.41417481) × cos(-0.90268817) × R
    0.000191749999999991 × 0.61950200895245 × 6371000     		do = 756.807969590127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41436656--0.41417481) × cos(-0.90280695) × R
    0.000191749999999991 × 0.619408762868 × 6371000     		du = 756.694056513454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90268817)-sin(-0.90280695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61950200895245-0.619408762868)×R²
    abs(-0.41417481--0.41436656)×9.32460844498273e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32460844498273e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32460844498273e-05×40589641000000     		ar = 572669.34711266m²