Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14219 / 22198
↖ ↑ ↗
← S 53.683695°
W 23.785400°		 ← 723.51 m → S 53.683695°
W 23.774414°		 →
↑
723.43 m
↓
↑
723.43 m
↓
S 53.690201°
W 23.785400°		 ← 723.39 m →
523 364 m²		 S 53.690201°
W 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433944702148438 y=0.677444458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433944702148438 × 215)
    floor (0.433944702148438 × 32768)
    floor (14219.5)     		tx = 14219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677444458007812 × 215)
    floor (0.677444458007812 × 32768)
    floor (22198.5)     		ty = 22198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14219 / 22198 ti = "15/14219/22198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14219/22198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14219 ÷ 215
    14219 ÷ 32768     		x = 0.433929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22198 ÷ 215
    22198 ÷ 32768     		y = 0.67742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.13214111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41513355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.3548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11482053756403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41513355} λ = -0.41513355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11482053756403))-π/2
    2×atan(0.327974132655194)-π/2
    2×0.316919544203412-π/2
    0.633839088406824-1.57079632675     		φ = -0.93695724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41513355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.785400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93695724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.683695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14219 KachelY 22198 -0.41513355 -0.93695724 -23.785400 -53.683695
    Oben rechts KachelX + 1 14220 KachelY 22198 -0.41494180 -0.93695724 -23.774414 -53.683695
    Unten links KachelX 14219 KachelY + 1 22199 -0.41513355 -0.93707079 -23.785400 -53.690201
    Unten rechts KachelX + 1 14220 KachelY + 1 22199 -0.41494180 -0.93707079 -23.774414 -53.690201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93695724--0.93707079) × R
    0.000113550000000018 × 6371000     		dl = 723.427050000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93695724--0.93707079) × R
    0.000113550000000018 × 6371000     		dr = 723.427050000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41513355--0.41494180) × cos(-0.93695724) × R
    0.000191749999999991 × 0.592242496483858 × 6371000     		do = 723.506679222632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41513355--0.41494180) × cos(-0.93707079) × R
    0.000191749999999991 × 0.592150998642804 × 6371000     		du = 723.394901868711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93695724)-sin(-0.93707079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592242496483858-0.592150998642804)×R²
    abs(-0.41494180--0.41513355)×9.14978410536671e-05×R²
    0.000191749999999991×9.14978410536671e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.14978410536671e-05×40589641000000     		ar = 523363.871787034m²