Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14212 / 21892
↖ ↑ ↗
← S 51.645294°
W 23.862304°		 ← 758.02 m → S 51.645294°
W 23.851319°		 →
↑
758.02 m
↓
↑
758.02 m
↓
S 51.652111°
W 23.862304°		 ← 757.91 m →
574 554 m²		 S 51.652111°
W 23.851319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433731079101562 y=0.668106079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433731079101562 × 215)
    floor (0.433731079101562 × 32768)
    floor (14212.5)     		tx = 14212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668106079101562 × 215)
    floor (0.668106079101562 × 32768)
    floor (21892.5)     		ty = 21892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14212 / 21892 ti = "15/14212/21892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14212/21892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14212 ÷ 215
    14212 ÷ 32768     		x = 0.4337158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21892 ÷ 215
    21892 ÷ 32768     		y = 0.6680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4337158203125 × 2 - 1) × π
    -0.132568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41647578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.336181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05614577242908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41647578} λ = -0.41647578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05614577242908))-π/2
    2×atan(0.347793706488257)-π/2
    2×0.334707951246307-π/2
    0.669415902492614-1.57079632675     		φ = -0.90138042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41647578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.862304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90138042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.645294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14212 KachelY 21892 -0.41647578 -0.90138042 -23.862304 -51.645294
    Oben rechts KachelX + 1 14213 KachelY 21892 -0.41628404 -0.90138042 -23.851319 -51.645294
    Unten links KachelX 14212 KachelY + 1 21893 -0.41647578 -0.90149940 -23.862304 -51.652111
    Unten rechts KachelX + 1 14213 KachelY + 1 21893 -0.41628404 -0.90149940 -23.851319 -51.652111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90138042--0.90149940) × R
    0.000118979999999991 × 6371000     		dl = 758.021579999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90138042--0.90149940) × R
    0.000118979999999991 × 6371000     		dr = 758.021579999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41647578--0.41628404) × cos(-0.90138042) × R
    0.000191739999999996 × 0.620528056224239 × 6371000     		do = 758.021895367258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41647578--0.41628404) × cos(-0.90149940) × R
    0.000191739999999996 × 0.620434749590716 × 6371000     		du = 757.907914266027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90138042)-sin(-0.90149940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620528056224239-0.620434749590716)×R²
    abs(-0.41628404--0.41647578)×9.33066335232491e-05×R²
    0.000191739999999996×9.33066335232491e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.33066335232491e-05×40589641000000     		ar = 574553.755411577m²