Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14209 / 21897
↖ ↑ ↗
← S 51.679368°
W 23.895264°		 ← 757.49 m → S 51.679368°
W 23.884277°		 →
↑
757.45 m
↓
↑
757.45 m
↓
S 51.686179°
W 23.895264°		 ← 757.38 m →
573 717 m²		 S 51.686179°
W 23.884277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433639526367188 y=0.668258666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433639526367188 × 215)
    floor (0.433639526367188 × 32768)
    floor (14209.5)     		tx = 14209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668258666992188 × 215)
    floor (0.668258666992188 × 32768)
    floor (21897.5)     		ty = 21897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14209 / 21897 ti = "15/14209/21897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14209/21897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14209 ÷ 215
    14209 ÷ 32768     		x = 0.433624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21897 ÷ 215
    21897 ÷ 32768     		y = 0.668243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.13275146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41705103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.33648681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05710451042148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41705103} λ = -0.41705103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05710451042148))-π/2
    2×atan(0.347460423239514)-π/2
    2×0.334410601145993-π/2
    0.668821202291986-1.57079632675     		φ = -0.90197512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41705103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.895264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90197512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.679368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14209 KachelY 21897 -0.41705103 -0.90197512 -23.895264 -51.679368
    Oben rechts KachelX + 1 14210 KachelY 21897 -0.41685928 -0.90197512 -23.884277 -51.679368
    Unten links KachelX 14209 KachelY + 1 21898 -0.41705103 -0.90209401 -23.895264 -51.686179
    Unten rechts KachelX + 1 14210 KachelY + 1 21898 -0.41685928 -0.90209401 -23.884277 -51.686179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90197512--0.90209401) × R
    0.000118889999999983 × 6371000     		dl = 757.448189999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90197512--0.90209401) × R
    0.000118889999999983 × 6371000     		dr = 757.448189999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41705103--0.41685928) × cos(-0.90197512) × R
    0.000191749999999991 × 0.620061592150238 × 6371000     		do = 757.491578388185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41705103--0.41685928) × cos(-0.90209401) × R
    0.000191749999999991 × 0.619968312245982 × 6371000     		du = 757.377623995909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90197512)-sin(-0.90209401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620061592150238-0.619968312245982)×R²
    abs(-0.41685928--0.41705103)×9.32799042565602e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32799042565602e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32799042565602e-05×40589641000000     		ar = 573717.468392015m²