Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14180 / 22436
↖ ↑ ↗
← S 55.203953°
W 24.213867°		 ← 697.14 m → S 55.203953°
W 24.202881°		 →
↑
697.11 m
↓
↑
697.11 m
↓
S 55.210222°
W 24.213867°		 ← 697.03 m →
485 946 m²		 S 55.210222°
W 24.202881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432754516601562 y=0.684707641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432754516601562 × 215)
    floor (0.432754516601562 × 32768)
    floor (14180.5)     		tx = 14180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684707641601562 × 215)
    floor (0.684707641601562 × 32768)
    floor (22436.5)     		ty = 22436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14180 / 22436 ti = "15/14180/22436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14180/22436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14180 ÷ 215
    14180 ÷ 32768     		x = 0.4327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22436 ÷ 215
    22436 ÷ 32768     		y = 0.6846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.369384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16045646600232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42261171} λ = -0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16045646600232))-π/2
    2×atan(0.313343117753047)-π/2
    2×0.303652791173567-π/2
    0.607305582347135-1.57079632675     		φ = -0.96349074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96349074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.203953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14180 KachelY 22436 -0.42261171 -0.96349074 -24.213867 -55.203953
    Oben rechts KachelX + 1 14181 KachelY 22436 -0.42241996 -0.96349074 -24.202881 -55.203953
    Unten links KachelX 14180 KachelY + 1 22437 -0.42261171 -0.96360016 -24.213867 -55.210222
    Unten rechts KachelX + 1 14181 KachelY + 1 22437 -0.42241996 -0.96360016 -24.202881 -55.210222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96349074--0.96360016) × R
    0.000109420000000027 × 6371000     		dl = 697.11482000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96349074--0.96360016) × R
    0.000109420000000027 × 6371000     		dr = 697.11482000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42261171--0.42241996) × cos(-0.96349074) × R
    0.000191749999999991 × 0.570656912861616 × 6371000     		do = 697.136883035546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42261171--0.42241996) × cos(-0.96360016) × R
    0.000191749999999991 × 0.570567054990951 × 6371000     		du = 697.02710913382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96349074)-sin(-0.96360016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570656912861616-0.570567054990951)×R²
    abs(-0.42241996--0.42261171)×8.98578706652886e-05×R²
    0.000191749999999991×8.98578706652886e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.98578706652886e-05×40589641000000     		ar = 485946.190711186m²