Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14146 / 22721
↖ ↑ ↗
← S 56.950966°
W 24.587403°		 ← 666.23 m → S 56.950966°
W 24.576416°		 →
↑
666.15 m
↓
↑
666.15 m
↓
S 56.956957°
W 24.587403°		 ← 666.12 m →
443 774 m²		 S 56.956957°
W 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431716918945312 y=0.693405151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431716918945312 × 215)
    floor (0.431716918945312 × 32768)
    floor (14146.5)     		tx = 14146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693405151367188 × 215)
    floor (0.693405151367188 × 32768)
    floor (22721.5)     		ty = 22721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14146 / 22721 ti = "15/14146/22721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14146/22721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14146 ÷ 215
    14146 ÷ 32768     		x = 0.43170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22721 ÷ 215
    22721 ÷ 32768     		y = 0.693389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.38677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.21510453156918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42913113} λ = -0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21510453156918))-π/2
    2×atan(0.296679000351655)-π/2
    2×0.288407227839042-π/2
    0.576814455678085-1.57079632675     		φ = -0.99398187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99398187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.950966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14146 KachelY 22721 -0.42913113 -0.99398187 -24.587403 -56.950966
    Oben rechts KachelX + 1 14147 KachelY 22721 -0.42893938 -0.99398187 -24.576416 -56.950966
    Unten links KachelX 14146 KachelY + 1 22722 -0.42913113 -0.99408643 -24.587403 -56.956957
    Unten rechts KachelX + 1 14147 KachelY + 1 22722 -0.42893938 -0.99408643 -24.576416 -56.956957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99398187--0.99408643) × R
    0.00010455999999992 × 6371000     		dl = 666.151759999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99398187--0.99408643) × R
    0.00010455999999992 × 6371000     		dr = 666.151759999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42913113--0.42893938) × cos(-0.99398187) × R
    0.000191750000000046 × 0.545356572802748 × 6371000     		do = 666.228994581479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42913113--0.42893938) × cos(-0.99408643) × R
    0.000191750000000046 × 0.545268927195135 × 6371000     		du = 666.12192326713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99398187)-sin(-0.99408643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545356572802748-0.545268927195135)×R²
    abs(-0.42893938--0.42913113)×8.76456076122079e-05×R²
    0.000191750000000046×8.76456076122079e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.76456076122079e-05×40589641000000     		ar = 443773.954835537m²