Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14143 / 22720
↖ ↑ ↗
← S 56.944974°
W 24.620361°		 ← 666.34 m → S 56.944974°
W 24.609375°		 →
↑
666.28 m
↓
↑
666.28 m
↓
S 56.950966°
W 24.620361°		 ← 666.23 m →
443 930 m²		 S 56.950966°
W 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431625366210938 y=0.693374633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431625366210938 × 215)
    floor (0.431625366210938 × 32768)
    floor (14143.5)     		tx = 14143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693374633789062 × 215)
    floor (0.693374633789062 × 32768)
    floor (22720.5)     		ty = 22720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14143 / 22720 ti = "15/14143/22720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14143/22720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14143 ÷ 215
    14143 ÷ 32768     		x = 0.431610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22720 ÷ 215
    22720 ÷ 32768     		y = 0.693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431610107421875 × 2 - 1) × π
    -0.13677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42970637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693359375 × 2 - 1) × π
    -0.38671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.2149127839707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42970637} λ = -0.42970637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2149127839707))-π/2
    2×atan(0.29673589329186)-π/2
    2×0.288459517447408-π/2
    0.576919034894816-1.57079632675     		φ = -0.99387729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42970637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.620361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99387729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.944974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14143 KachelY 22720 -0.42970637 -0.99387729 -24.620361 -56.944974
    Oben rechts KachelX + 1 14144 KachelY 22720 -0.42951462 -0.99387729 -24.609375 -56.944974
    Unten links KachelX 14143 KachelY + 1 22721 -0.42970637 -0.99398187 -24.620361 -56.950966
    Unten rechts KachelX + 1 14144 KachelY + 1 22721 -0.42951462 -0.99398187 -24.609375 -56.950966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99387729--0.99398187) × R
    0.000104580000000021 × 6371000     		dl = 666.279180000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99387729--0.99398187) × R
    0.000104580000000021 × 6371000     		dr = 666.279180000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42970637--0.42951462) × cos(-0.99387729) × R
    0.000191749999999991 × 0.545444229211031 × 6371000     		do = 666.33607909016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42970637--0.42951462) × cos(-0.99398187) × R
    0.000191749999999991 × 0.545356572802748 × 6371000     		du = 666.228994581286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99387729)-sin(-0.99398187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545444229211031-0.545356572802748)×R²
    abs(-0.42951462--0.42970637)×8.76564082838982e-05×R²
    0.000191749999999991×8.76564082838982e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.76564082838982e-05×40589641000000     		ar = 443930.18269563m²