Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1413 / 903
↖ ↑ ↗
← N 20.797201°
E 68.378906°		 ← 18.272 km → N 20.797201°
E 68.554687°		 →
↑
18.282 km
↓
↑
18.282 km
↓
N 20.632784°
E 68.378906°		 ← 18.292 km →
334.244 km²		 N 20.632784°
E 68.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690185546875 y=0.441162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690185546875 × 211)
    floor (0.690185546875 × 2048)
    floor (1413.5)     		tx = 1413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441162109375 × 211)
    floor (0.441162109375 × 2048)
    floor (903.5)     		ty = 903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1413 / 903 ti = "11/1413/903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1413/903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1413 ÷ 211
    1413 ÷ 2048     		x = 0.68994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 903 ÷ 211
    903 ÷ 2048     		y = 0.44091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68994140625 × 2 - 1) × π
    0.3798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19343705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44091796875 × 2 - 1) × π
    0.1181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.371223350657715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19343705} λ = 1.19343705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371223350657715))-π/2
    2×atan(1.44950678552855)-π/2
    2×0.966887983507061-π/2
    1.93377596701412-1.57079632675     		φ = 0.36297964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19343705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36297964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.797201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1413 KachelY 903 1.19343705 0.36297964 68.378906 20.797201
    Oben rechts KachelX + 1 1414 KachelY 903 1.19650501 0.36297964 68.554687 20.797201
    Unten links KachelX 1413 KachelY + 1 904 1.19343705 0.36011002 68.378906 20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 1414 KachelY + 1 904 1.19650501 0.36011002 68.554687 20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36297964-0.36011002) × R
    0.00286962000000002 × 6371000     		dl = 18282.3490200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36297964-0.36011002) × R
    0.00286962000000002 × 6371000     		dr = 18282.3490200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19343705-1.19650501) × cos(0.36297964) × R
    0.00306796000000009 × 0.934843020272642 × 6371000     		do = 18272.4165830629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19343705-1.19650501) × cos(0.36011002) × R
    0.00306796000000009 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 18292.2565380185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36297964)-sin(0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934843020272642-0.935858060802633)×R²
    abs(1.19650501-1.19343705)×0.00101504052999091×R²
    0.00306796000000009×0.00101504052999091×6371000²
    0.00306796000000009×0.00101504052999091×40589641000000     		ar = 334244287.268255m²