Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14128 / 22736
↖ ↑ ↗
← S 57.040730°
W 24.785156°		 ← 664.62 m → S 57.040730°
W 24.774170°		 →
↑
664.56 m
↓
↑
664.56 m
↓
S 57.046706°
W 24.785156°		 ← 664.52 m →
441 646 m²		 S 57.046706°
W 24.774170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431167602539062 y=0.693862915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431167602539062 × 215)
    floor (0.431167602539062 × 32768)
    floor (14128.5)     		tx = 14128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693862915039062 × 215)
    floor (0.693862915039062 × 32768)
    floor (22736.5)     		ty = 22736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14128 / 22736 ti = "15/14128/22736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14128/22736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14128 ÷ 215
    14128 ÷ 32768     		x = 0.43115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22736 ÷ 215
    22736 ÷ 32768     		y = 0.69384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69384765625 × 2 - 1) × π
    -0.3876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.21798074554639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43258258} λ = -0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21798074554639))-π/2
    2×atan(0.295826914042791)-π/2
    2×0.287623891696933-π/2
    0.575247783393866-1.57079632675     		φ = -0.99554854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99554854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.040730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14128 KachelY 22736 -0.43258258 -0.99554854 -24.785156 -57.040730
    Oben rechts KachelX + 1 14129 KachelY 22736 -0.43239083 -0.99554854 -24.774170 -57.040730
    Unten links KachelX 14128 KachelY + 1 22737 -0.43258258 -0.99565285 -24.785156 -57.046706
    Unten rechts KachelX + 1 14129 KachelY + 1 22737 -0.43239083 -0.99565285 -24.774170 -57.046706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99554854--0.99565285) × R
    0.000104309999999996 × 6371000     		dl = 664.559009999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99554854--0.99565285) × R
    0.000104309999999996 × 6371000     		dr = 664.559009999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43258258--0.43239083) × cos(-0.99554854) × R
    0.000191749999999991 × 0.544042714757169 × 6371000     		do = 664.623934023879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43258258--0.43239083) × cos(-0.99565285) × R
    0.000191749999999991 × 0.543955189707502 × 6371000     		du = 664.517009987848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99554854)-sin(-0.99565285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544042714757169-0.543955189707502)×R²
    abs(-0.43239083--0.43258258)×8.75250496663593e-05×R²
    0.000191749999999991×8.75250496663593e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.75250496663593e-05×40589641000000     		ar = 441646.295351598m²