Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14112 / 22752
↖ ↑ ↗
← S 57.136239°
W 24.960937°		 ← 662.88 m → S 57.136239°
W 24.949951°		 →
↑
662.84 m
↓
↑
662.84 m
↓
S 57.142200°
W 24.960937°		 ← 662.77 m →
439 347 m²		 S 57.142200°
W 24.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430679321289062 y=0.694351196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430679321289062 × 215)
    floor (0.430679321289062 × 32768)
    floor (14112.5)     		tx = 14112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.694351196289062 × 215)
    floor (0.694351196289062 × 32768)
    floor (22752.5)     		ty = 22752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14112 / 22752 ti = "15/14112/22752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14112/22752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14112 ÷ 215
    14112 ÷ 32768     		x = 0.4306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22752 ÷ 215
    22752 ÷ 32768     		y = 0.6943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    -0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6943359375 × 2 - 1) × π
    -0.388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.22104870712207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43565054} λ = -0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22104870712207))-π/2
    2×atan(0.29492071923367)-π/2
    2×0.286790414243373-π/2
    0.573580828486746-1.57079632675     		φ = -0.99721550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99721550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.136239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14112 KachelY 22752 -0.43565054 -0.99721550 -24.960937 -57.136239
    Oben rechts KachelX + 1 14113 KachelY 22752 -0.43545880 -0.99721550 -24.949951 -57.136239
    Unten links KachelX 14112 KachelY + 1 22753 -0.43565054 -0.99731954 -24.960937 -57.142200
    Unten rechts KachelX + 1 14113 KachelY + 1 22753 -0.43545880 -0.99731954 -24.949951 -57.142200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99721550--0.99731954) × R
    0.000104039999999972 × 6371000     		dl = 662.838839999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99721550--0.99731954) × R
    0.000104039999999972 × 6371000     		dr = 662.838839999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43565054--0.43545880) × cos(-0.99721550) × R
    0.000191739999999996 × 0.542643284198053 × 6371000     		do = 662.879762921595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43565054--0.43545880) × cos(-0.99731954) × R
    0.000191739999999996 × 0.542555891484512 × 6371000     		du = 662.77300612036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99721550)-sin(-0.99731954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542643284198053-0.542555891484512)×R²
    abs(-0.43545880--0.43565054)×8.73927135400798e-05×R²
    0.000191739999999996×8.73927135400798e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.73927135400798e-05×40589641000000     		ar = 439347.072233261m²