Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14000 / 22638
↖ ↑ ↗
← S 56.450349°
W 26.191406°		 ← 675.12 m → S 56.450349°
W 26.180420°		 →
↑
675.13 m
↓
↑
675.13 m
↓
S 56.456420°
W 26.191406°		 ← 675.01 m →
455 757 m²		 S 56.456420°
W 26.180420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427261352539062 y=0.690872192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427261352539062 × 215)
    floor (0.427261352539062 × 32768)
    floor (14000.5)     		tx = 14000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690872192382812 × 215)
    floor (0.690872192382812 × 32768)
    floor (22638.5)     		ty = 22638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14000 / 22638 ti = "15/14000/22638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14000/22638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14000 ÷ 215
    14000 ÷ 32768     		x = 0.42724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22638 ÷ 215
    22638 ÷ 32768     		y = 0.69085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.3817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19918948089532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45712627} λ = -0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19918948089532))-π/2
    2×atan(0.301438434535355)-π/2
    2×0.292775936176313-π/2
    0.585551872352626-1.57079632675     		φ = -0.98524445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98524445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.450349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14000 KachelY 22638 -0.45712627 -0.98524445 -26.191406 -56.450349
    Oben rechts KachelX + 1 14001 KachelY 22638 -0.45693453 -0.98524445 -26.180420 -56.450349
    Unten links KachelX 14000 KachelY + 1 22639 -0.45712627 -0.98535042 -26.191406 -56.456420
    Unten rechts KachelX + 1 14001 KachelY + 1 22639 -0.45693453 -0.98535042 -26.180420 -56.456420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98524445--0.98535042) × R
    0.0001059699999999 × 6371000     		dl = 675.134869999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98524445--0.98535042) × R
    0.0001059699999999 × 6371000     		dr = 675.134869999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45712627--0.45693453) × cos(-0.98524445) × R
    0.000191739999999996 × 0.55265940456957 × 6371000     		do = 675.115210573136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45712627--0.45693453) × cos(-0.98535042) × R
    0.000191739999999996 × 0.552571085304299 × 6371000     		du = 675.007321918971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98524445)-sin(-0.98535042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55265940456957-0.552571085304299)×R²
    abs(-0.45693453--0.45712627)×8.83192652707532e-05×R²
    0.000191739999999996×8.83192652707532e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.83192652707532e-05×40589641000000     		ar = 455757.400655124m²