Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13999 / 22639
↖ ↑ ↗
← S 56.456420°
W 26.202392°		 ← 675.04 m → S 56.456420°
W 26.191406°		 →
↑
674.94 m
↓
↑
674.94 m
↓
S 56.462490°
W 26.202392°		 ← 674.93 m →
455 579 m²		 S 56.462490°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427230834960938 y=0.690902709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427230834960938 × 215)
    floor (0.427230834960938 × 32768)
    floor (13999.5)     		tx = 13999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690902709960938 × 215)
    floor (0.690902709960938 × 32768)
    floor (22639.5)     		ty = 22639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13999 / 22639 ti = "15/13999/22639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13999/22639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13999 ÷ 215
    13999 ÷ 32768     		x = 0.427215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22639 ÷ 215
    22639 ÷ 32768     		y = 0.690887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.14556884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45731802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.38177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19938122849381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45731802} λ = -0.45731802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19938122849381))-π/2
    2×atan(0.301380639980604)-π/2
    2×0.292722954853387-π/2
    0.585445909706774-1.57079632675     		φ = -0.98535042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45731802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.202392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98535042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.456420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13999 KachelY 22639 -0.45731802 -0.98535042 -26.202392 -56.456420
    Oben rechts KachelX + 1 14000 KachelY 22639 -0.45712627 -0.98535042 -26.191406 -56.456420
    Unten links KachelX 13999 KachelY + 1 22640 -0.45731802 -0.98545636 -26.202392 -56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 14000 KachelY + 1 22640 -0.45712627 -0.98545636 -26.191406 -56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98535042--0.98545636) × R
    0.000105940000000082 × 6371000     		dl = 674.943740000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98535042--0.98545636) × R
    0.000105940000000082 × 6371000     		dr = 674.943740000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45731802--0.45712627) × cos(-0.98535042) × R
    0.000191749999999991 × 0.552571085304299 × 6371000     		do = 675.042526222797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45731802--0.45712627) × cos(-0.98545636) × R
    0.000191749999999991 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 674.934654909307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98535042)-sin(-0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552571085304299-0.552482784839583)×R²
    abs(-0.45712627--0.45731802)×8.83004647160845e-05×R²
    0.000191749999999991×8.83004647160845e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.83004647160845e-05×40589641000000     		ar = 455579.324200506m²