Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13989 / 22702
↖ ↑ ↗
← S 56.836954°
W 26.312256°		 ← 668.27 m → S 56.836954°
W 26.301269°		 →
↑
668.19 m
↓
↑
668.19 m
↓
S 56.842964°
W 26.312256°		 ← 668.16 m →
446 493 m²		 S 56.842964°
W 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426925659179688 y=0.692825317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426925659179688 × 215)
    floor (0.426925659179688 × 32768)
    floor (13989.5)     		tx = 13989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692825317382812 × 215)
    floor (0.692825317382812 × 32768)
    floor (22702.5)     		ty = 22702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13989 / 22702 ti = "15/13989/22702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13989/22702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13989 ÷ 215
    13989 ÷ 32768     		x = 0.426910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22702 ÷ 215
    22702 ÷ 32768     		y = 0.69281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.14617919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45923550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.3856201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.21146132719806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45923550} λ = -0.45923550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21146132719806))-π/2
    2×atan(0.297761833876775)-π/2
    2×0.289402168283203-π/2
    0.578804336566407-1.57079632675     		φ = -0.99199199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45923550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99199199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.836954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13989 KachelY 22702 -0.45923550 -0.99199199 -26.312256 -56.836954
    Oben rechts KachelX + 1 13990 KachelY 22702 -0.45904375 -0.99199199 -26.301269 -56.836954
    Unten links KachelX 13989 KachelY + 1 22703 -0.45923550 -0.99209687 -26.312256 -56.842964
    Unten rechts KachelX + 1 13990 KachelY + 1 22703 -0.45904375 -0.99209687 -26.301269 -56.842964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99199199--0.99209687) × R
    0.000104879999999974 × 6371000     		dl = 668.190479999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99199199--0.99209687) × R
    0.000104879999999974 × 6371000     		dr = 668.190479999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45923550--0.45904375) × cos(-0.99199199) × R
    0.000191750000000046 × 0.547023417686885 × 6371000     		do = 668.265277715603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45923550--0.45904375) × cos(-0.99209687) × R
    0.000191750000000046 × 0.546935617815634 × 6371000     		du = 668.158017946738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99199199)-sin(-0.99209687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547023417686885-0.546935617815634)×R²
    abs(-0.45904375--0.45923550)×8.77998712509598e-05×R²
    0.000191750000000046×8.77998712509598e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.77998712509598e-05×40589641000000     		ar = 446492.662115089m²