Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13951 / 22657
↖ ↑ ↗
← S 56.565536°
W 26.729736°		 ← 673.10 m → S 56.565536°
W 26.718750°		 →
↑
673.03 m
↓
↑
673.03 m
↓
S 56.571589°
W 26.729736°		 ← 672.99 m →
452 983 m²		 S 56.571589°
W 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425765991210938 y=0.691452026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425765991210938 × 215)
    floor (0.425765991210938 × 32768)
    floor (13951.5)     		tx = 13951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691452026367188 × 215)
    floor (0.691452026367188 × 32768)
    floor (22657.5)     		ty = 22657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13951 / 22657 ti = "15/13951/22657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13951/22657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13951 ÷ 215
    13951 ÷ 32768     		x = 0.425750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22657 ÷ 215
    22657 ÷ 32768     		y = 0.691436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.14849853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46652191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.38287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20283268526645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46652191} λ = -0.46652191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20283268526645))-π/2
    2×atan(0.300342230772688)-π/2
    2×0.291770738082542-π/2
    0.583541476165084-1.57079632675     		φ = -0.98725485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46652191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98725485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.565536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13951 KachelY 22657 -0.46652191 -0.98725485 -26.729736 -56.565536
    Oben rechts KachelX + 1 13952 KachelY 22657 -0.46633016 -0.98725485 -26.718750 -56.565536
    Unten links KachelX 13951 KachelY + 1 22658 -0.46652191 -0.98736049 -26.729736 -56.571589
    Unten rechts KachelX + 1 13952 KachelY + 1 22658 -0.46633016 -0.98736049 -26.718750 -56.571589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98725485--0.98736049) × R
    0.000105640000000018 × 6371000     		dl = 673.032440000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98725485--0.98736049) × R
    0.000105640000000018 × 6371000     		dr = 673.032440000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46652191--0.46633016) × cos(-0.98725485) × R
    0.000191749999999991 × 0.550982806993721 × 6371000     		do = 673.102223098671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46652191--0.46633016) × cos(-0.98736049) × R
    0.000191749999999991 × 0.550894645586417 × 6371000     		du = 672.994521663173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98725485)-sin(-0.98736049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550982806993721-0.550894645586417)×R²
    abs(-0.46633016--0.46652191)×8.81614073043879e-05×R²
    0.000191749999999991×8.81614073043879e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.81614073043879e-05×40589641000000     		ar = 452983.388722955m²