Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13762 / 16322
↖ ↑ ↗
← S 84.932205°
E122.387695°		 ← 215.82 m → S 84.932205°
E122.409668°		 →
↑
215.79 m
↓
↑
215.79 m
↓
S 84.934145°
E122.387695°		 ← 215.74 m →
46 562 m²		 S 84.934145°
E122.409668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.839996337890625 y=0.996246337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.839996337890625 × 214)
    floor (0.839996337890625 × 16384)
    floor (13762.5)     		tx = 13762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.996246337890625 × 214)
    floor (0.996246337890625 × 16384)
    floor (16322.5)     		ty = 16322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13762 / 16322 ti = "14/13762/16322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13762/16322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13762 ÷ 214
    13762 ÷ 16384     		x = 0.8399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16322 ÷ 214
    16322 ÷ 16384     		y = 0.9962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8399658203125 × 2 - 1) × π
    0.679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.13606825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.992431640625 × 3.1415926535     		Φ = -3.11781595128845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.13606825} λ = 2.13606825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.11781595128845))-π/2
    2×atan(0.0442537152195645)-π/2
    2×0.0442248604202586-π/2
    0.0884497208405172-1.57079632675     		φ = -1.48234661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.13606825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 122.387695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.48234661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.932205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13762 KachelY 16322 2.13606825 -1.48234661 122.387695 -84.932205
    Oben rechts KachelX + 1 13763 KachelY 16322 2.13645174 -1.48234661 122.409668 -84.932205
    Unten links KachelX 13762 KachelY + 1 16323 2.13606825 -1.48238048 122.387695 -84.934145
    Unten rechts KachelX + 1 13763 KachelY + 1 16323 2.13645174 -1.48238048 122.409668 -84.934145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.48234661--1.48238048) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dl = 215.785769999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.48234661--1.48238048) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dr = 215.785769999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.13606825-2.13645174) × cos(-1.48234661) × R
    0.000383489999999931 × 0.0883344330153755 × 6371000     		do = 215.819993209391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.13606825-2.13645174) × cos(-1.48238048) × R
    0.000383489999999931 × 0.0883006953668344 × 6371000     		du = 215.737564887495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.48234661)-sin(-1.48238048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0883344330153755-0.0883006953668344)×R²
    abs(2.13645174-2.13606825)×3.37376485410601e-05×R²
    0.000383489999999931×3.37376485410601e-05×6371000²
    0.000383489999999931×3.37376485410601e-05×40589641000000     		ar = 46561.9899908737m²